Soit encore le produit

en le dévelo{^ant , on aura

ab ac

[x -h m){x •^b)(x -^ c) = x^-ha

-hb

-f. cb

ab€\

et en intégrant , on trouvera

2(ar-hfl) {x-^b) (a?4-c) =2ar^+fl

Ix^-^ab -hac •i-cb

Ix-^ab c Sx'-t- const.

Il ne s'agira plus que de mettre dans le second membre les valeurs de 2x', de Sx*, de Sx et de£x^, données par les équations (48)-

553. Il est un cas particulier où un produit de divers facteurs présente une intégration aussi élégante que facile ; c'est celui où la différéiice Ax étant constante et représentée par h , on se propose d'intégrer

a?(j? H- ^)(^ -f- 2^) (jT-f- 3A). . ,(ûr -{- nh).

Pour cela , nous différentierons le produit

(49) y:=i(x^h)x(x'hh)(x'^ 2 A) (a? -H 3 A)... (j? -4- «A).

4lâ * CALCUL DES DIFFÉRENCES.

qui contient de plus, sur la gauche, le (acteur {x — A); remplaçant jt: par (x -h h) ^ y deviendra

et nous aurons

7 -f- A/ == a: (x -h A) (a; -h a A) (x. H- 3 A) . . , (x -f- «A) (jc 4- A -f- nh) ; ôtantde ce résultat l'équation primitive, il restera

Aj=: X (^-4- A) [x -h 2A). . ,(x -h nh) (:r ^ A 4- nà) — (jT — A)aî(x -h A). . .(j: -h «A)..

La partie X (x -f- A) ... (a: -h nh) étant commune aux deux produits qui composent le second membre de cette équation , nous pouvons la mettre en facteur commun , et nous aurons

Aj = [a? (a: 4- A) (a: -H a A) . . . (j? -f- /»A)][jr -{- h -h nh — (x — A)].

Le second facteur se réduit à («4- a) A, et comme il est constant, nous pourrons le faire passer hors du signe 2; intégrant, nous aurons

j^= (/i-f- a) As [a: (a: -4- A) (x -f- a A). . .(ar -J- nh)].

Mettant la valeur dej^ donnée par Féqùation (49) > chan- . géant les deux membres de place et divisant par {/ï -h a) A , nous trouverons enfin

X ■ h ^x (j: -f- A)(x 4- a A). . \x -H «A) = -. r-7 \x\x -h A)*- -(ar -h aA)].

APPUGATIOH DO CALCUL DE» DIFVÊBENCES A LA SOHHATIOH DBS TEHIEES

D'UHB SÉRIE.

554. Un 'des grands avantages du calcul des différences finies consiste à déterminer, le terme sommatoire d*uuc série , c'est-à-^dire Texprèssion algébrique au moyen de laquelle OTi peut trouver la somme des termes de cette série.

Nous allons examiner comment le terme sommatoire peut être obtenu lorsqu'on connaît le terme géiiéral d^une série.

SO-MMATipir DES TERMES DUNE St^lllE. 4<3

Pour cela, soit la suite

qui correspond aux indices

Nous voyons qu^cn donnant successivement à n les valeurs o, I., 2, 3, 49* • •) ^2 9 on formera avec a^ tous les termes (le la suite (5o) ; a„ en est donc le terme général. Mais ce terme général peut être regardé comme la difllérence dont

s'accroîtrait

(5i) <i-h«i -f-flj-l-^s. • -Hfl^-i,

pour former la suite (5o).

Par conséquent, si nous désignons par- S la somme dos termes de la suite (5i), nous aurons

d'où nous tirerons, en intégrant,

(52) S = 2fl,.