I -i-4-f-g-i- i6 + 25 -H 36-f- 49"*-64">"8i -h loo

qui est celle des dix premiers termes des carrés de la suite des nombres naturels. Le terme général de cette suite étant (x -4- i)' (art. 543), nous aurons pour le terme somma toi re

substituant dans cette expression les valeurs <le Sn*, deZn^ et de ^n^i données par les équations (4^)^ (4^) ^^ (43), dans lesquelles on changera x exi n ei-Ax en l!uuité, lé terme sommatqire aura pQur expression

(57) S = j »* -f- y /î' -H ^ /i -h co/î^ftf «re ;

et comme le nombre des termes de la série est 10, nous trouverons , en faisant n = i o ,

Nous n'ajoutops point de constante, par la raison que nous avons expliquée art. 556 ; mais si , au lieu de compter la suite depuis le nombre ij on la comptait, depuis le

4l6* GA.LCVL DES UlFFÉREIfCES.

nombre 36, la somme des termes qui précèdent 36 devrait être nulle ^ par conséquent, en faisant n = 5 , on devrait avoir S = o. Cette hypothèse réduirait Téquation (57) à

constante = — : 55 5 cette valeur changerait Téquation (57) en

'et comme le nombre des termes de la suite proposée est 10 , en faisant ti = 10, on aurait pour la somme des termes de cette série , compris depuis 36 jusqu'à loo inclusivement ,

DE L'INTERPOLATIOII

560. L'interpolation a pour but d'insérer dans une suite de termes qui suivent une certaine loi , d'autres termes suboixlounés à cette même loi.

561. Si l'on nous donnait, par exemple, les coordonnées AP et PM [fig* 102), AQ et QN de deux points M et N, situés sur un plan, il suffirait de faire passer la droite MN par ces deux points pour résoudre le problème ; car il est évident que les coordonnées AP et PM , AQ et QN, et toutes celles de la droite AN seraient enchaînées par une même loi.

562. Si. trois points L, M et ^ (fig. io3), donnés sur le même plan, étaient déterminés par les coordonnées AI, IL, AP, PM, AQ et QN, en faisant passer l'arc de cercle LMN par ces trois points, on satisferait encore au problème; mais l'arc LMN ne pouiTa plus nous en oflFrii la solution, lorvSqu'oii nous donnera un plus grand nombre de points. D'ailleurs, quoique le cercle soit une courbe

î>E l'interpolation. 4*7

facile à décrire, il n'est point,, par son équation, cell<5 qu'on pourrait regarder comme la plus convenable au cas présent. Nous en choisirons donc une autre qui se prùtc plus facilement aux hypothèses que nous pourrons établir sur le nombre de points par où la courbe doit passer. Celle courbe est la parabole de tous les genres, qui est compriso dans l'équation

(58). r^M + N-r + Px'H-Q.r'-f-

563. Supposons donc que par l'observation , ou par tout , autre moyen ,. on soit parvenu à savoir que les abscisses AI, AP, ÀQ, ÀR [fig- ïo4)5 o"' pour ordonnées correspondantes IL, PM, QN, RS, etc. •, si ces abscisses sont représentées de la sorte, a , i , c, ^, etc. , et que leurs ordonnées le soient par A, B, C, D, etc., l'équation (58), dans laquelle les coefficients M, N, P, Q, etc., sont indéterminés , sera satisfaite aussi bien par les valeurs a et A que par les valeurs b et B , et ainsi de suite -, de sorte que l'on aura, pour déterminer les coefficients N, M , P, Q, etc., les équations

A =: M H- N fl -h P rt * + Q «• 4- . . . ,

{69) { C =M4-Nc H- Pc' -hQc»4-. . .,

Ces équations devront être en même nombre que les eoeflicients M, N, P, Q, etc., qui sont a déterminer. Si la première est retranchée de la seconde , et que la seconde le soit de la troisième., et ainsi de suite, on obtiendra

B — A = N (^ — fl) -+- P(^' — û') 4- Q (6^ — a') 4- . . . , C — B = N (c — 6) -i- P ( r' — è') -h Q (c» — 6^) 4- . . . ,

D — C = N(rf — <:)4-P(^i*— <^')-4-Q(^ — <^' )+•.-,

4l8 CATXUL DES DlFl^ÉfTENCES.

et en divisant par ce qui multiplie N , on aura

Les termes qui se trouvent compris entre les parenthèses étant la diflerence de deux quantités élevées à une même puissance , sont de la forme m"* — p"* ; or on sait qu'une expression de ce genre, lorsque m est un nombre entier, est exactement divisible par u — 1^ et donne ( Tiote XVII)

(61) w'"— «^= («~ p) (tt'*~'-hrtt"^'4-p' a"*-^... p"-'a-+- p"~')...,

et comparant les quantités (i* — a'), (i* — a'), (c* — 5*), etc., de celte formule, on peut les décomposer ainsi :

{b '^a){b '\- a)y {b — a) {h^ -^ ab -^ a^) , . .,

et en subslitliant ces valeurs dan» les équations (60), on obtient ces résultats B ^

, ^^ =r N -h P(c -f. è) -h Q (c' 4- rZ» 4- /^») 4-. . .,

5Z1^ — N 4, F.( c 4- rf) 4- Q (^ 4- rrf -h <?') -4-. . . . d — c \ / A

Si l'on suppose

Ï^T^-^' JZ^h-^' JZT^-^' -^

B', C, ly se composant de valeurs données, seront encore des quantités connue»; et en les substituant dans les ëqua-

t»E L^NTERPOLÀTION. 4*9

lions (63), on aura

-h P (c -f- 6) -H Q (c' 4- rè 4- ^») 4- . . . ,

alors ces équations remplaceront les équations (Sg) dotit le nombre sera diminué d'une unité; et au lieu des inconnues M, N, P, Q, etc., elles ne renfermeront plus que N, P, Q^ etc., c'est-à-dîre une de moins. Si en continuant d'opérer comme ci-dessus on prend les différences C — B', ly — C, etc., on aura, en divisant par le multiplicateur deP,

et l'on voit que les diviseurs c — a et d — b disparaîtront encore des seconds membres de ces équations (*) délivrées

( ** ^ Pour g'assurer qu'il en esl de même de tout terme des équations ( 63 ), «oient

/t(5*-ii-) *(c"-t") kidT^c'')

les valeurs générales du dernier terme des équations (63), nous trouverons, «n les développant à Paide de la formule (61),

Nous avons écrit dans un ordre inyerse la quantité renfermée entre les dernières parenthèses, pour qu'elle soit ordonnée par rapport à by comme Taulre.

Prenant la différence., nous trouverons

c|nantité qui est divisible eiactement par c — a.

Il en serait de même des antres différences D' — C, nie.

4^0 CALCUL DES DJFFÉIIEN€BS.

Jes înconnues M et N. En continuant d^opërer ainsi, ror» parviendra à éliminer toutes les inconnues moins une sçule, et Ton obtiendra ensuite les valeurs de M, de N, de P, de Q, etc., qu'on substituera dans Téquation (58).

564# La méthode d'interpolation dont nous venons d'exposer la théorie appartient à Newton. Lagrange en a donné une qui repose également sur le facteur commun que nous avons supprimé, et dont on peut donner la démonstration suivante : Soient donc p^ q^ r, s^ etc., différentes abscisses auxquelles on a reconnu que correspondaient les ordolinées P, Q, R, S, etc,*, si Ton regarde p, q^ r, j, etc., comme des valeurs qui, mises à la place* de x dans une certaine équation , amènent pour y celles-ci : P, Q , R , S, etc., cette équation devra avoir la forme suivante :

(64) 7 = AP -hBQ + CR 4-DS-+-

En effet, la condition exigée sera remplie, si en faisant

(65) 0?=/^, onaA=i, B = o, C = o, D = o,...,

(66) .ar = ^, onaB==i, A = o, C = o, Dr=o, ..,

(67) X r=z r, onaC = i, A=ro, B=:o, D = o,...,

Pour satisfaire aux équations* (65) B = o, C = o, D = o, etc., il faut que B, C, D, etc., soient des formes suivantes :

On prouverait de même que pour satisfaire aux équations A = o , C = o , D = o , etc. , du n° 66 , le facteur x — q doit appartenir à tous les coefficients A, C, D, etc., hors à celui de Q , et qu'il en sera de même des facteurs x — /'; X — .ç, etc., à l'égard des coefficients de P, de Q, de S, ei de ceux de P, de Q et de R, etc.

Si nous iious bornons aux quatre premiers tei^mes du

DE L^IJSÏIEIIPOLATION. 42*

second membre de l'équation (64)9 c'esl-à-dîie à ceux qui ne sont pas compris dans Fetc, on voit donc que la valeiu\ de y sera de la forme

j = a (or — .y) (x — r) (x — f) P

Or, pour que le coefficicnit de P se réduise à l'unité quand

jr = p, il faut que a soit de la forme r-, r- ^«

On démontrerait de même qu on doit avoir

substituant ces valeurs et celles de a dans Téquation (69), on aura donc cette formule d'interpolation

(jf — /?) (j: — /•) (j: — *) ^ ^ (x— /?)(x--y)(j?--r) ^

Par conséquent, si \fig* io5) à Taide d»îs coordonnées

^P^Pf P^ = ^y

Xr=z r^ rm = Kj

. As = j, sn = S,

on construit les points Xr, /, /71, n^ par lesquels passe une courbe klmn , une valeur arbitraire AP donnée à l'abscisse or, étant mise dans Téquation (70), déterminera toujours pour y- la valeur PM, qui correspondra à cette abscisse.

4^2 CALCUL DES D1FFÉIIEIIGE5.

Dans ce qui précède, les accroissements donnés à x peuvent être quelconque»; mais s'ils étaient égaux, en les représentant par Ax^ la formule de Newton, démontrée page 396, et dans laquelle on ferait Ax constant, pourrait servir à l'interpolation 5 c'est ainsi que nous en avons fait usage (art. 546) pour trouver le logarithme d'un nombre donné.

Théorème d *Euler sur les conditions nécessaires pour déterminer r intégrale Zu d'une fonction 11 de x. — Analogie des différences apec les puissances,

^63. La différentielle d'une variable d'une fonction pouvant être représentée par l'expression uàx ^ dans laquelle u est une fonction dé ^ , si Ton nomme z l'intégrale de cette expression^ on aura

(•^i) dz = «d^;

et comme z, en vertu de cette équation, ne peut être qu'une fonction de X, si nous donnons à x l'accroissement h^ nous aurons^ par le théorème de Taylor,

d« , d^z k" à'z h^ d J? d arM . ?, (I j?^ 1 . 2 . o

nous tirerons de là

d z , d^ z A^ d^ z /*^ ax djcM.2 dx^ i .1,0

et en observant que z' — z n'est autre chose que la différence Az, nous aurons

, , dz . d^z h' d'z h"

.(72) Az=j^A + jj^, — + ^,-^— 34-...;

intégrant et regardant h comme une constante. que Ton peut mettre tn dehors du signe d'intégration , nous obtiendrons

(73) , = /iz^-f — 2jp+^-^.3P +

TBÉOKÈME D*£lJLEil. 4^3

Cela posé, réquaùon (71] nous donne

^ àz d's da d'z d'^i*

flieCtant ces valeurs dans Tcquation (73), nous aurons ^ * , h} au h^ d»tt

•^ 1.2 QX 1,1.6 QX^

nous tirerons de cette équation

1 ^ , A da /i* d'à

^u-=Z'-ruûx 2-j ^2 ^.

A*' 1.2 dx 1.3.3 dx*

ou en replaçant (*j la constante /i sous le signe 2,

^'^' A"' 1.2 do? 1.2.3 do:'

Si, dans cette équation, nous prenons pour u la fonction -r-y

.. ^ - , du d'tt d'« d=»«

Il faudra changer -r— en -; — 1 -r— : en 1—,» etc., et nous aurons.

^ dx dx^ dx^ dx^

en faisant passer de nouveau h sous le signe 1 ,

du I ^ , I d'M , I d^« ,,