I - dw d'tt
( 78) lu=jJud.T-^ termes en 1-^h, en 1 -r— ^ /»% etc. y
/ V d« , d^tt ,, d'w
( ^q) 2 T- « =r « -f- termes en 2 -r— - //% e/z 2 -— - n^, etc.
^'^' do: da:' d^'
du Nous pourrons, à l'aide de l'équation (79), éliminer 2 ^ — /i de
THÉORÈME B^EtLER. 4^^
Téquation (78), et obtenir ce résultat,
lu = — I uax -^ termes en u , en 1 -z — A', en 2 -r— - «^, etc.
L'équation (76), dans laquelle les intégrales du second membre
ne commencent qu'à partir du troisième ordre, servira ensuite à
éliminer 2 -t — ^ A' ; et en continuant ainsi an obtiendra une équa-
tion dont le premier terme sera j J iiàx, et qui, étant une fonc-
d tt d' M d^ tf lion des quantités non éliminées a, 3— h , -r—^ li*^ - — - A% etc. , et
U X d X CI X
des fonctions numériques^ devra être de la forme
(80) 2a==:-radx-HA«-f-BT— A-h C -1 — A* H-. . . .
A*^ ax éx^
S67. Pour déterminer les coefficients A, B, C, e*c., supposons Il = ^, nous anrons (art. 59)
(81) da = de'=e'd.r, et , par conséquent,
^ dtt d^« à^u
Substituant ces valeurs et celles de u, dans l'équation (80), nous trouverons
et comme la première des équations (82) nous donney^dx = « et que u équivaut à é*, par hypothèse, on aura
e* (83) 26*=—-+- Ac*-f-BAc*~f-C/*'c*-f-
Le premier membre de cette équation peut se mettre sous une autre forme. En effet, nous avons trouvé (art. 821) que la différence de a* était
4^6 CALCUL DES DIFFÉRBIICES. .
dans le cas présent, nous avons
ùkX ==: à et a = g; par conséquent-,
intégrant, on obtient
et comme ^ •— i est un facteur constant , nous pouvons le meltrtf en dehors du signe S, ce qui nous donnera, en mettant le premier membre à la place du second ,
d'où nous tirerons
Substituant cette valeur dans réquatioh (83), c' disparaîtra comme facteur commun, et en transposant le premier terme du second membre, il restera
(84) -^-- = A-*-BA-hC//» + ...;
et Ton voit que les coefficients A, B, G, etc., de Tcquation (8o), ne sont autre chose que les termes qui multiplient les puissances de h dans le développement de
suivant le^ puissances ascendantes de h.
Ce beau théorème appartient à Ëuler, et , comme le montre Téquation (8o), fait dépendre l'intégrale 2 w de ftiàx, ainsi que xles coefficients différentiels
au à^u d^tf d j? . dor^ do;'
868. Pour déterminer les coefficients A, B, C, D, etc., cherchons préli minai rement le développement de t^. Pour cela nous avons vu (art. 58, page 26) qu'on avait
,cx^K Ax A'x' A'x''
(85) fl*= 1 +^ \ 1 -4-. ..,
THÉORàlCB d'eULER. 4^7
et que A, diaprés Téquation (26) de la page 27, était égal à r-^'
Par conséquent, lorsqu*pn prend a = ^ , la constante A se réduisant à l'unité, l'équation (85) se change en
et en faisant x =z hj l'équation (86) devient
Cela posé, l'équation (84) nous donne, en faisant évaopair les dénominateurs, et en transposant e^ — i dans le second membre,
A = c* — r -H («?* — i) A ( A -h BA -h CA» 4- D/«» -+- . . .) ,
ou
A =(<?*— i) (i -h AA+BA'-+-CA3-hDA<-+-...);
mettant dans ce résultat la valeur de ^ — i , donnée par l'équation ( 87 ) , on aura
Â= AH- — H ^H .-^-f.... (i-+-AA + BA'-f-CA'...),
« ou , en exécutant les opérations indiquées ,
iô = A-HAA'-h BA*-h CA*4- DA* -H...
