Sous cette même condition, on a encore
Pour le démontrer, cherchons le développement de A" u , et commençons par déterminer celui de A*«. Or, puisqu^on a en général
^ do: d^* 1.2 d^' 1.2.3
si nous changeons /r en A^r, et que nous appelions àui ce que devient A u lorsque x se change en .r -h ^, nous trouverons
, , dA«, d'Au h^ d^Aa A^ <
(92)A«.--A«ouA^«=-^/.4--^-; — +-^^^4-...;
mais A étant constant, Téquation (89) nous donne par la différentiatîon
dx d :rM . 2 d xM . 2 . 3
à' u , d'u fi" d* «« h^
d2Atfc=-— A-hT-T ^-T--î -1 -H... ;
substituant ces valeurs dans Téquation (92], nous obtiendrons un dé vel oppement de la forme
dx^ i dx^ \ ,2, do;*!, 2. 3
et, en général, on trouvera par ce même procédé, pour le premier membre de l'équation (91 ), un développement de cette forme
Si nous élevons ensuite chacun des deux membres de TéquAlion (88) à la puissance /i, nous trouverons que le développe-
43o CALCTJL DKS DIFFÉRENCES.
ment de \e^^ — i / esl de la forme
et Dous verrons qu*i] est identique à celui de réquation (qS), pourvu qu'on transporte les exposants de « à la caractéristique. Moyennant cette condition^ Tcquation (91) sera donc démontrée.
071. On peut même se dispenser de remplir cette côndidon en écrivant ainsi les équations (90) et (91) ,
et en convenant que jusqu'à la fin de l'opération indiquée par Tune des équations (94) > '^ caractéristique d, séparée de la variable qu'elle accompagne toujours, sera traitée comme uae quantité algébrique. ,
En effet, supprimant momentanément u, si nous développons
e , et que nous mettions -i — à à la place de.r dans Téqua-
lion (86), nous aurons, en transposant runité dans le premier membre,
â^^ d . d* A' iV
d X d x^* I • 2 d jc* 1 . 2 . 3
Effectuant ensuite la multiplication, indi(|uée par u, dans la première des équations (94)) ^^ trouvera à la tin de Topération ,
au d'tf /i» d^« A»
ax dj?M.2 dx' 1.2.5
ce qui est le développement de A« [voyez l'équation (89)], exécuté sans transposition d^exposant^.
Ce que nous disons de la première des équations ( 94 ) s'applique à la seconde.
FIN DU CALCUL l>RS DIFFKRiENCRS.
PRINCIPES FONDAMEHTilVX. 4^1
CALCUL
Du calcul des vqriations,
pRiHGiPEs foudambutaux de ce calcul.
573. Si un point M (fig' io6) , pris sur une courbe ou surface courbe, est transporté en N, l'ordonnée j^ = PM , qui détermine ce point M , t'ecevra un accroissement MN qu'on nomme la variation dey.
574. Par exemple, lorsque la courbe BC {/ig' 107) change d'inflexion et devient 6 c, la variation de Tordonuée PM sera M n 5 et la même abscisse AP appartiendra à l'ordonnée primitive PMet à l'ordonnée Pn ainsi accrue delà variation. Enfin, si l'ordonnée PM (^g. 107), en se prolongeant , rencontre d'autres courbes Bc, Bc', B(/\ etc. , les parties interceptées M a2 , M nf^ M »'% etc. , seront les variations dont cette ordonnée s'accroîtra successivement.
575. On peut remarquer que ce qui distingue une variation d'une diflFérence, c'est que nous changeons de courbe, lorsque l'ordonnée PM (^g. 108) reçoit une variation MN; tandis que nous restons sur la même courbe lorsque l'ordonnée PM, devenant PM', s'accroît d'une différenee M'Q, qui, comme on l'a vu (art. 517) , se change en différentielle dans le cas où cette différence est infiniment petite.
432 CALCUL DES VAIIIÀTIONS.
576. Dans ce qui va suivre , nous conserverons la notation dy pour expi^imer la différentielle de PM = r {fig* io8), et nous emploierons la caraciérisliqiié D pour exprimer la différence finie M' Q = Dy^ dont s'accroit une ordonnée; et nous désignerons par Ay la variation MN de jy et par dy cette variation lorsqu'elle deviendra Infiniment petite.
577. D'après ce qui précède, une variation ayant donr lieu lorsqu'on passe d'une courbe à l'autre, cela peut arriver de différentes manières. Par exemple, si , dans la parabole CBD (^gf. 109), dont l'équation est
(1) ^ = ô +aa?% .
la constante a devient af , la courbe se rétrécira ou s'élargira, suivant que a! sera plus grand ou moindre que a (*).
578. Si, au contraire, la constante b de l'équation (i) variait seule, cette constante ne ferait que changer la position de la courbe en la transportant (fig- no) de CBD en CB'D'ouenC'B'^D".
579. En général , on voit que lorsqu'une 'courbe est transportée dans l'espace, les coordonnées de l'origine qui entrent comme constantes dans son équation changent de valeurs; d'où il suit que c'est encore par la variation dos constantes qu'une courbe change de position. Aussi le> géomètres sont-ils en usage d'affecter la caractéristique '^ aux diff*érentielles qui se rapportent à des points de Ve^pace, différentielles qui, comme on le voit, ne sont autre chose que des variations , et de donner la caractéristique d aux diffei^entielles qui se rapportent à des points pris sur
• - '" - " " - ' ■ 1 - - Il r «1 —
(*) Il c&t facile de s'en convaincre; car si, pour une même abscisiif AP = X ifig'iog), a s'augmente, l'équation (i) montre que rordoniif" s'augmente aussi. Cette ordonnée PM derenantPN, appartient nécessairement à une parabole EBN moins éyasce que la parabole CBM.
une cmirbe ou sur une surface courbe , et en général à tout système de points composant un solide ou le terminant.
580. La constante qui , par ^a variation , a donné celle de^, était en évidence dans Féquation (i); mais le plus souvent cette constante ne parait pas même dans Téquation de la courbe.
Prenons pour exemple l'équation
(2) {y-hà.T — a)'= e'x -f- 2 41%
qui est celle d'une parabole représentée par Isifig. m (*), et supposons que Ton fasse varier le paramètre , la courbe écartera ses branches plus ou moins. Or le paramètre n'est ni a, ni 6 ^ ni /?, mais est oiiie fonction de ces constantes [yoyez ma Théorie des Courbes (**) , page 247] ;^ d'où il suit que dans la parabole même là constante qui varie n'est pas toujours une de celles que renferme son équation.
Nous verrons bientôt qu'on peut se dispenser de connaître cette constante , et qu'il suffit de déterminer les coordonnées sur lesquelles elle porte son influence.
{*) lÈn effet, faisant x = o, r a deux valeurs qui déterminent les points B et C; faisant ensuite j^ = 0 , on trouve les abscisses AD et AH , ce qoi annonce que la courbe passe encore par les points D et E; nous voyons de plus qu'elle ne peut s'étendre indéfiniment dans le sens des x négatii's'; car réquation (2) nous donnant
si Ton y remplace x par ~ xy la valeur de j^ deviendrait imaginaire lorsque e^x surpasserait sa*. Celte courbe ne peut donc être située que comme nous Tavons représentée {fig. i ii). Elle est une parabole, parce que si Ton développe le carré du premier membre de l'équation (2 ), il est manifeste que le carré du coefficient 26 de xy sera égal à quatre fois le produit des coefficients de X* et de j *, ce qui est le caractère de la parabole. ( Théorie des Courbes du second ordre , page 87. )
{**) 11 n'est point venu à ma connaissance qu'avant la publication de l'ouvrage cité, on eilt assigné la forme de cette fonction.
4^4 CALCUL DES VARIÀTIOIIS.
581 . Soit raaintcDaut V une fonction des variables ac et y^ et de leurs coefficients diOfërentiels ; nous pourrons regarder V comme Tordonnée PM {fig> 112) d'une courbe située dans l'espace, qui aurait x et y pour ses autres coordonnées. Supposons' que l'on passe de l'ordonnée PM = V à une autre ordonnée P' M', la différence M' r de ces ordonnées sera en général une quantité finie que, conformément à l'art. 576, noiis représenterons par DV (*); nous aurons donc . •
P'M'=PM-+-M'r, ou
