V-f DV-hA(V-hDV) =V-H AV4-D(V4-AV

Effectuant les opérations indiquées par les parenthèses, et réduisant, il restera

(4) . ADV=DAV,

ce qui nous apprend que la variation de la différence d'une fonction V est égale à la différence de la variation de cette^ fonction,

582. Dans le cas où , au lieu de V =y (x , / ) ^ nous aurions / '=^fXy la courbe MM' deviendrait utie courbe plane ^ et alors on regarderait l'ordonnée PM comme une fonction^ de J7. La démonstration étant la même, dans cette hypothèse on trouverait

(5) AD/ = DAj^.

583. Dans cette démonstration^ nous regardons la variation AV et la difierence DV comme des quantités finies ; mais les équations (4) et (5) ne subsistent pas moins si ÙS et DV sont des quantités infiniment petites. Adoptant pour ce cas (art. 576) les caractéristiques 5 «t d, l«s équations (4) et (5) deviendront

(6) ^dV="d^V,

(7) ^Ay — A^y.

584. Jusqu^à présent nous n'avons attribué des variations qu'à y y et en cela nous nous accordons avec cette observation de Lagrange : Dans les différentiations par d^ ilj'aut regarder comme constante la variable dont la diffé" rentiellea été prise pour constante , Ainsi, dans Thypothèse

436 CALCUL DES VAHIATIONS.

la.plus fréquente où cette diflérentielle est d j:, il s'ensuit que .r doit être regardé comrtie constant quand on prend les variations. Et, en effetj nous avons vu que la même abscisse AP [fig' 107). répondait à diverses valeursPM,P/2 , 1?n\Pnf\ etc., de Tordonnée. Cependant Lagrange sembla se mettre lui-même en contradiction avec les paroles que nous venons de citer, lorsque, dans les Mémoires de T j4.cademie de Turin, année i^Sp, il donna, sans en expliquer la raison , des variations aussi bien à x cpHky^ Ce changement important dans la marche qu'avaient suivie jusque alors les géomètres, fit faire un grand pas à cette partie de l'analyse et en changea absolument la face; mais cela nécessitait encore plus de démontrer sur quoi se fondait le procédé de Lagrange. Prétendre que Ton donne par là plus de généralité à la méthode, ce serait [éluder la difficulté qu^on ne peut lever qu'en montrant de quelle manière la position des plans coordonnés détermine x à recevoir des variations aussi bien quej^. Pour cela, nous ferons préliminairement remarquer que, dans le cas de l'art. 574, les variations étaien t supposées perpendiculaires au plandes x^ ; mais quelle que soit la cause qui produise ces variations , on voit qu'elle ne dépend pas de notre volonté, et qu'il en est de même de la fixation des plans coordT)nnés , qui peut être subordonnéiB à certaines conditions. du problème, et même avoir été déterminée avant que les points delà courbe aient cl^ngé de place.

H suit de là que dès qu'entre mille positions difTérentes que peut prendre la direction de la variation qui affecte un point M, il n'y en a qu'une où elle soit perpendiculaire au plan des x^y^ nous devons, en thèse générale, regarder 'cette variation comme inclinée à ce plan. Cela posé, nous allons démontrer que, dans ce cas, non-seulement jy, en variant, fera varier a:, mais que leurs variations dépendront encore l'une de l'autre.

PRINCIPES FOADAMEWTAUX. 4^7

Pour cel effet, soit MN [fig^ ii4) '^ vanalioii quaura reçue le point M d'une courbe , et imaginons qu'un plan j' Ax', auquel la direction de MN était perpendiculaire, passe par l'origine des coordonnées.: ce plan ayant une position différente de celle A-ey kx, MN sera donc incliné à ce dernier-, d'où il suit que lorsque le point M sera transporté en N , les coordonnées AL , LP et PM deviendront AH , HQ et QN , et s'accroîtront des différences LH, OR et NI^ ce qui montre évidemment que quand une ordonnée MP = V subit une variation , il en doit être de niéme des coordonnées AL = jc et LP = j".

585. Il s'agit maintenant de démontrer la dépenda^nce qui existe entre les variations de ces coordonnées.

Pour cela, soit toujours {fig^ 1 1 4) MNla variation qu'aura reçue le point M perpendiculairement à un plan y' kx' \ menon'spar ce point M la perpendiculaire MPau plan donné des x\ y^ et prolongeons PM jusqu'en S^ il s'ensuit que l'angle SMN formé par deux perpendiculaires MS et MN aux pi ans j^ A x oly' K x'^ en mesurera l'inclinaison , et que ces plans.se confondront lorsque l'angle SMN sera nul. Cela posé , menons les perpendiculaires MI et NS sur la direction des ordonnées MP et NQ, le triangle MSN sera rectangle en S^ et comme l'angle SMN , qui mesure Tinclinaisou des plans, est déterminé, il suffira que l'on nous donne, dans le triangle MSN,lecôlé SVl pour que le côtéSN =MI en lésulte.

Or,

SM = NI = NQ — MP = AV, et SN = PQ;

etconimePQ déterminela différence LH = AH — AL==Zia:, on voit que Aj: dépend immédiatement de AY, et qu'il en est de même de Aj^ à Tégard de Ax.

586. Lorsqu'on passe des différences aux différentielles, la même dépendance aura donc lieu entre dx vx ày^ ce qui

438 €ALCDL DES TÀRIÂTIOlfS.

est bien différent de ce que Ton remarque dans le caTcuI différentiel, où, lorsque V est déterminé à Faide des coordonnées X etjr^ ces coordonnées pouvant varier chacune séparément^ il n'y a en général aucune dépendance entre dx etdj*.

587. Examinons maintenant comment se modifient les théorèmes démontrés art. 881 et 582, lorsque les variations ont des directions inclinées aux plans des a:, j^, et où par conséquent le point M {Jig» 1 15 ) ? ppur arriver en N, ne suit plus la direction du prolongement de l'ordonnée PM, camm« le supposaient les démonstrations des art. 581 , 58S et583.

Dans ce cas , le point M , parvenu en N , aura reçu un accroissement d'ordonnée qui sera exprimé par la différence QN — PM : nous aurons donc

(8) variaiipndePM ou AV±±Q1V— PM.

D'un autre celé, l'ordonnée PM de la courbe primitive, lorsqu'elle deviendra P' M', s'accroîtra d'une différence que nous représenterons par

(g) DV = P' M' -- PM.

Nous déduirons de cette équation

( I o ) A^ DV == variation «/<? P' M' — ^ variation de PM.

Il s'agit de démontrer que cette quantité est égale à D AV, Pour cela, nous voyons, par Féquation (lo), qu'il faut d'abord déterminer la variation de P' M'. Or cette variation se trouve en supposant qu'après qu'elle a transporté M' en un certain lieu N', on prenne la différence des ordonnées de ces points. On aura, de la sorte,

variation de P' M' =;: Q'N' — P' M^ ;

et, comme le prescrit Téquation (lo) , retranchant dé celle variation celle de PM, dwinée équation {8), nous trouve-

I>RINC11»E3 FOKDA'mEATAUX. 4^9

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