Par exemple, si Ton voulait avoir la variation de

V = « -f- ny'^ i

nommant V ce que devient Y lorsque y s'accroît de la quantité infiniment petite dy.y on aurait

d'où ron déduirait

V — Vou ^y = 2/?jr57-t- /i^jr'î

passant à la limite, ou, ce qui revient au même, effaçant le terme nây^^ qui, étant un infiniment petit du second ordre, doit être supprimé à côté du.terme injây (art. 230), il resterait pour la variation cherchée

et l'on voit que le procédé est absolument le même que celui qui déterminerait la différentielle de V, qu'on sait être

dV = 2/îjd/.

891» Eh général, pour trouver la variation d'une fonc-

I PHfNCIPES FONDAMENTAUX. 44 >

lion V, dont la différentielle est

(i6) , dV = Mdj:-4-Nd7 4-Pdy9-f.Qd7 4-...,

il suffira de changcT la caractéristique d en ^, ce qui don-

Qera

(17) ^V = M5j: ^ySx'^9êp-j~ qSq 4- . . . .

Sous pouvons même remplacer M, N, P, Q, etc., par les coefficienls différentiels que ces lettres représentent, et nous aurons

f Q^ »,r «IV* dV ^ dV^ dV^

ax djr " dp d^

592. Nous ne changeons pas ây en ây dans les coefficients différentiels ; car Tun de ces coefficients différentiels, le premier par exemple > étant le quotient de Mdx par djc, on doit avoir M pour résultat , tout aussi bien que si Ton divisait Max par dx-^ il en est de même des autres. Aussi

les coefficients différentiels -r— 5 -r-» -r- > etc., ne renfer-

d.r ay ap

ment-ils dx, dy, dp, qu'en apparence, et ne sont-ils dans

le fond que de véritables fonctions de y^ de p^ de ç, etc.

593. Remarquons que, quoique les variations soient des différentielles d'un genre particulier, il ne faut pas croire que ox soit à l'égard de dy ce que dx est à l'égard dedj^. En effet, on choisit ordinairement d a: pour variable indépendante, et l'on ne peut faire la même chose à l'égard de âx\ car nous avons vu (art. S86) que dx dépendait de dy. Aussi la variable indépendante qui détermine l'accroissement dey n'est pas x, mais la constante, qui devient variable lorsque les points de la courbe changent de position. L'hypothèse de différentiation est donc différente. Par exemple, si l'on a l'équation

44o CÂi.eu*L DES VAR1AT105S.

servir à modifier convenablement les formules qui coiitiennent des différentielles et des variations; car les' formules qui ne cotitiendraient que des variations ne différent pas des différentielles. Aussi , comme le dit Lagrange^ le calcul des variations a-l-il pour but de différentier sous un noui^eau point de vue des quantités qui ont été differentiées sous un autre. C'est ce que l'on sentira, si l'on fait attention que déterminer lar variation d'une fonction V de y, se réduit à trouver l'accroissement de cette fonction lorsque y s'augmente de la quantité infiniment petite dy ; il est évident que cette question doit conduire aux mêmes règles que celles que l'on emploie pour obtenir les diflférenti elles ordinaires.