MAXIM A ET MINIMA DES FORMULES IHTÉGRALES
iicients diiférentiels successifs, l'équation (35) (page 452) deviendrait
V = Mdar4-N d/-^P dp +Q d^ H-R dr-h...
(56) { -♦-N,dz +P,d/?, + Q,d^,-hR,dr,H....
^ -hN„df +P,d/>„-HQ„d^„-f-R^dr^
Dans ce cas, l'équation {4i) (page 455) s'augmenterait des termes relatifs aux variables z^ f, m, i^, etc., et nous aurions
$fYdxz=YSx ;, dQ \ dw / dR \
> etc.
-i- f (à dx (n — -r-> etc.
dP do;
^ dQ, \ dû), /^ dR, \
-+./«,d^^N, -■^Setc.j
etc.) +-5^(Q„-
7 etc. 9 etc.
f<^,dx ^N,,-^,etc.^
-4- constante.
Dans le cas du maximum ou du minimum , le second membre de l'équation (57) devant être nul, il faut pour que cette condition soit remplie que , conformément à l'observation qui a été faite art. 604 (page 458), la partie affectée du signe d'intégration soit nulle d'elle-même, ce qui nous fournit l'équation
/«djr ( N— ^9 etc.] -h/w, dj; (n, — -r-^, etc.
•+■/«// d^ (n,,-- -^'S etc. j = o;
4^0 CALCUL DES VARIATIOHS.
or, les variables j, «,t, etc., étant indépendantes, celte équation ne pourra se réaliser qu autant qu'on aura séparément
/« dx^N - j|, etc.j=o, (58) j/«^d:r^N,-^S etc.)=o,
/«,,dx ^N,,-^S tîtc. j ^ o,
ce qui donnera, en dîfférentiant et en développant un peu plus ces expressions ,
N — 1? dhQ d^
dx dx' dx^ ' ' '
dP, d»Q, d'R, (Sg) ( ' dx^dx' dar'^ '
dP d'Q„ d'R
'^•- d7-«-dP-— CÛ5- + "'
ces équations déterminent les relations qui doivent avoir lieu pour que la courbe appartienne a un maximum ou à un minimum*
621 . Donnons une application de cette théorie en nous proposant de trouver les relations qui doivent exister entre jc , y et Zj pour que
soit un minimum.
^d^'-f-d^'H- dz' /♦x
C^) Cette équation est celle à laquelle conduit le problème de la brachistochrone , ou ligne de la plus vite descente. En effets la question se réduisant à déterminer la courbe pour laquelle l'élément de temps d< doit être un minimum; on a [voyez Véquation (200) de mes Éléments de Méca~
MÀXIMA ET MINIMÀ ]>ES FORMULES INTÉGRALES. 47<
Si, pour simplifier, nous faisons
ày d z
la formule précédente deviendra
Nous avons donc dans le cas présent,
et puisque le problème ne comporte que les variables Xy y y z, la troisième ligne des équations (Sj) et les suivantes
m^u^, page 21 1],
V étant nul lorsqu'on part du repos , et la constante ig pouvant se suppri<mer (art. 105), cette formule se réduit à
Vd**-+-dr*H-d«»
et l'on voit qu'elle rentre, dans celle de notre problème, en changeant z en X, c'est-à-dire en regardant l'axe des r de la formule (6o) comme Vaxe des coordonnées verticales. On pourrait peut-être dire qu'il eût été plus simple de conserver l'axe des z pour celui des coordonnées verticales , en employant au lieu de la formule (6o) , la formule
(6.) • -^JZ^W^Jl
yfz
Je répondrai qu'en choisissant l'axe sur lequel se compte la variable indépendante pour l'axe vertical , cela nous procure l'avantage d'avoir à la fois N = o et N,= o [vqyes, ci-après, les formules (63)], tandis que si nous eussions employé la formule (61), au lieu de la formule (60), on aurait eu
dV
N = o et N,= ^- = ^i + ;/« + ;! =».-:-. =--
d« ' ' ^' dif 2 ^^
ce qui nous eût conduit à des calculs plus compliqués, tant il est vrai qu» le choix des coordonnées n'est pas une chose indifférente.
comprises dans les etc. , n'existent pas ; à Tégard des deux premières lignes, elles se modifient par ces valeurs qu'il faut y introduire,
fais ,. dV ^ dV
d/7 dp,
Q = o, R = o,etc., Q, =o, R, =o,etc. ;
ne conservant donc que les termes V, P, P., t— > -j-^-t
^ ' ' do: dx
Téquation (57) se réduit à
r ^ / <*P\ -hjft», dx I — T~)~*" constante;
et comme les formules intégrales du second membre de cette écpiation doivent être nulles séparément (art. 620) , on a donc
on tire de ces équations (art. 6â0)
— wdJ7-T— =0, — (d.ax -^ — =ro, ax ■ dx
et en supprimant les facteurs — cddx et — co^dx, il reste
dP dP,
et en passant aux différentielles, on a
dP = o, dP, = 0.
Les intégrales de ces équations seront
p = constante , P, = constante ,
'MÀXIMA. et MIMIMA DES FORMULES INTÉGRALES. 47^
ou plutôt
mais nous avons
^ dV ^ dV
p= et P, = -— ;
dp dp,
difFérentions donc l'équation (62) par rapport k p et k p,, nous trouverons
mettant ces valeurs de Pet de P, dans les équations (66) ^^ nous obtiendrons
v/ï/îT^M^ ' s/ï^H-/?'H->3,'
éliminant
— .. . ' entre ces équations, on trouvera
P p, ,àjr d z
a b ax àx^
intégrant, on aura
ce qui est l'équation d'une droite RS. [fig- 121) tracée sur le plan des y, z^ et dans laquelle les coordonnées
du point M sont: AV =:y^ PM =:z;
du point M' sont : AP' = j , P' M' = z ; du point M'" sont : AP" = 7 , P" M" = z ;
L'équation (67) nous apprend que, quelle que soit l'abscisse AP =:y que l'on prenne, l'ordonnée PM = z déterminera , sur la droite RS, le point M par où l'on doit mener la troisième coordonnée x. Il suit de là que cette
474 CALCUL DES VAKIÀTIQNS.
droite BS contiendra les pieds de toutes les troisièmes coordonnées, qui, étant parallèles à Taxe de x, sont nécessairement parallèles entre elles. Or des parallèles qui in 1erceptent une même droite RS [fi g. 122) ne peuvent qu'être comprises dans un même plan ^ car, si une droite menée par un point M'' sortait de ce plan , elle cesserait d'être parallèle aux autres. Concluons de ce qui précède que les troisièmes coordonnées étant comprises dans un même plan , il en doit être de même de leurs extrémités N, N', N", etc. [fig, 121), qui constituent la courbe KL; cette courbe cherchée KL sera donc plane. ^
622. Maintenant que nous savons que la courbe est à simple courbure , et par conséquent peut être déterminée par deux coordonnées x et r, dont l'une est verticale, remplaçons cette coordonnée verticale par y, l'équation du problème deviendra
Vdx=: ^ ,
et en mettant (i -|- ^•) A.x^ au lieu de dx' 4- dj^*, on aura
(68) w^il:^.
Vr
Dans le cas présent^ l'équation (4i) (page 4^5), ou, ce qui revient au même, Téquation (65) , se réduit à
(69) iî/Vda:=:V^a:^-P«-^/«da^ ^JV — ^];
et l'on voit que cette équation nous donne pour notre cas
(,o) P ou 1I=1»^'=4=.
