MAXIM A ET MINIMA DES FORMULES INTÉGRALES
réduisant au même dénominaieur, en multipliant et divi-* sant la première expression par ^i 4-p*> nous obtiendrons
équation qui se réduit a
et qu*on peut encore simplifier si Ton désigne par As Télément d'un arc de courbe; car alors nous aurons
^dx*4- d^*rr dj;
d'où nous tirerons^ après avoir divisé par dx' sous le radical et multiplié par dx en dehors,
et en faisant
on obtiendra
Au moyen de cette équation y nous éliminerons le radical
de Téquation (8i)> laquelle se réduira, en changeant p dx
en Ay^y à
d^ • dr -
As SX ds^x
629. Remarquons que cette équation n'aura lieu que pour les coordonnées a/, y et x^^ j^^ des points extrêmes  et B, en soFtç qu'on aura
da:' dy . ,
(82) au point A, 7=^.r' H =^0/ = o,
ds^y às^y
Ar' - dr"
(83) au point B, -ï~=^r"H ^Sy= o;
482 CALCUL DES VAtllÀTIONS.
ces points extrêmes A et B u*élant pas fixes, peuvent être assujetlis à ^e mouvoir sur lea courbes KM, LN {fig» 1^3) dont lés équations sont ^
M =r G et N = o;
et comme M et N sont des fonctions, Tune de j/ et de/, et l'autre de x" et de j^'', nous aurons .
dM ^ , dM . , dN ^ ,, dN ^ „
dx' d/ "^ dj;" dy ^
Ces équations nous serviront à éliminer l'une des variations contenues dans Tes équations (82) et (83), .et alors l'autre de ces variations deviendra un facteur commun que nous supprimerons.
Tirant donc des équations M = o et N = o les valeurs
et les substituant dans les équations (82) et (83), on obtiendra
d^' dy ,., àx" dy „ .
ds)/x' dssjy' dsslf dssly"
et Ton tirera de ces équations
dj'___^ df " 1 ^ dx'^ M'' d-r""" N"'
630. Maintenant, si , au moyen de Téquation (77), nous éliminons la valeur de x contenue avec y dans les fonctions M' <?t N", ces fonctions se changeront en des fonctions M, et N, qui seront composées en j^ de la même manière; de sorte que si Ton fait y ^= o dans Tune et dans l'autre, ces fonctions se réduiront à une même. constante a^ qui, suivant le cas, pourra être zéro ; nous aurons donc alors
dy' d r"
dx''^ ' d-"
MAXIMÀ ET UmiJAk DBS FORMULES INTÉGRALES. 4^.^
Or il est facile de voir que ces valeurs sont précisément celles qui ont lieu aux points A et B {fig. i23) ; car en ces points on a jr = o , comme nous venons de le supposer^
et si l'on considère que -p- représente eo général Fangle
que l'élément de la courbe fait au point x, j*, avec Taxe des abscisses, on verra que ces éléments forment des angles égaux, et que par conséquent les tangentes en A et en B sont parallèles.
631 . Les problèmes que nous avons résolus jusqu'à présent par le Calcul des variations y se rapportent à des maxima ou à des minima absolus ; il existe une autre classe de problèmes, qu'on peut coniprendre sous la dénomination de maxima ou de minima relatifs. Dans ces derniers, on considère des courbes qui jouissent d'une propriété commune, et Ton demande quelle est, parmi ces courbes, celle pour laquelle une certaine formule intégrale est un maximum ou un minimum. En voici un exemple : Entre toutes les courbes planes de même longueur^ déterminer quelle est celle pour laquelle la formule fXàx est un maximum ou un minimum.
L'élément d'une courbe plane étant
v/da:»-+-dj-% la longueur de cette courbe aura pour expression
/ V^d jr» -+- dy, et en mettant le facteur àx en dehors du radical , deviendra
dy»
or on veut que celte expression d'un arc de courbe soit une quantité constante, on aura donc, par la première con-
484 CiLCVL DES VAR1ATI01I8.
dition du problème ,
(84) /do: i/ I -4- j^, = eonsianie = A.
Cela posé, la variation d'une constante étant égaleà zéro, on déduit de cette équation
(85) */dxy/,+^=:o.
La seconde condition du problème nous donne
J'Y dx == maximum ou minimum.
Cette seconde condition sera remplie si Ton a
(86) ^/Tdarr=o.
Sous un certain point de vue, on peut considérer fYàx comme l'expression d'une surface, lors même que Y ne serait pas d'une seule dimension , ainsi que l'exige la formule (Si) (art. 348, page 262). En effet, en prenant autant d'unités linéaires que Y, selon le cas (*), renferme d'unités, ou carrées, ou cubiques, ou autres, on pourra toujours ramener cette fonction à prendre la forme d'une quantité d'une seule dimension.
Cela posé, si nous représentons {^g* 124) par AMP la surface qui a fYàx pour .expression , nous ne pouvons, en tbèse générale, placer l'origine au point où/Ydx devient nul; car ce -serait trop se restreindre dans le cboix que nous pouvons faire de cette origine. Ainsi , pour conserver
(•*) Par exemple , si Y* représentait la fonction t^*, qui est de trois diuiensiopsy et que le centimètre fût Tunité, en prenant autant de centimètres cubes qu'il y a d'unités dans t^y*, on aurait pour Y un parallélipipède dont la longueur serait ny* et qui aurait Tunité pour ses deux autres dimensions. Représentant donc par a* le carré de l'uiiité y on remplacerait ^y* par
—5-, et alors \ prendrait la forme d'une eipression linéaire.
MAXIHA BT XiniMA ÛKA FORMULES INTÉGRALES. 4^i
en cela toute la latitude possible, au lieu de compter les x depuis le point A ^ nous les compterons à partir d'un point quelconque O ^ de sorte que si ia formule qui nous est donnée est exprimée par
/(Ydx)=/x,
c'esl-à-dire par
(87) AMP=/P,
et se rapporte à l'abscisse x = AP qui s'évanouit avec Tint^^rale-, et qu'on veuille compter les abscisses d'une origine O, il faudra remplacer j?= AP par
.r-t-rt "=0P-4- AO,
et alors nous aurons
(88) /(Yd4p) = aire OBMP -H aire ABQ.
L'aire ABO se déterminera en supposant que Tespace AMP se réduise à ^O lorsque .r = a , ce qui changera l'équation (87) en
aire ABO =^ ;
substituant cette valeur dans l'équation (88), et remplaçant aîre OBMP par y Yd;c, nous obtiendrons
/(Ydx)=/yd«-h/a.
Dans la première intégrale, indiquée par y (Ydo:), nous comptons les x depuis le point A , tandis que dans la seconde nouB les comptons depuis le point O , ce qui revient à supposer que la formule /Ydx, renfermée dans l'équation (86), au lieu de se rapporter à l'origine A , se rapporte à une origine quelconque O, pourvu qu'on y ajoute une constante fa , que nous représenterons par C ^ dans cette hypothèse, la formule (86) deviendra donc
(89) S(fYdx^C)^o.
486 CALCUL DfiS VABIATtOnS*
La Gonstante il qui 0nire dans celle expression élant arbitraire, Ho diffère de la constanie déterminée A qu^en ce qu'elle peut devenir A par une valeur particulière, ce qui exige qu'on ait
n étant un facteur indéterminé qui se réduit à l'unité quand C = A ; remplaçant A par sa valeur constante ,
que nous donne Téquation (84)) nous aurons
et par conséquent la formule /Ydx ■+■ C deviendra
C = «/dxt/i + ^;;
/ dx' /Yd« -+- nfdv 1/ 1+ — ,
ou^ en comprenant toute F expression sous le signe d'intégration ,
de sorte que l'équation {89) peut être remplacée par celle-ci :
Sfdx(^Y + .^/^:^) = o,
équation qui^ en faisant -p- = p, peut s'écrire ainsi :
(91). ^/dar(Y»h/iV^i -hp^) = o.
632. Cette équation exprime d'ailleurs d'une manière implicite une condition de maximum ou de minimum ; car
la partie coristaiiie fdxyi-\-p^ étant commune k toutes les courbes que comprend cette équation, si ces courbes
MAXIMA ET MIKIMA DES FOilMUZ.ES INTÉGRALES. 4^7
oui un maximum ou uu minimum , cela ne pourra provenir que de la partie /Yda:, si cette partie en est susceptible.
Le problème ne dépend donc plus que de la formule (91)9 qui change la question de maximum ou de minimum relatif en celle de maximum ou de minimum absolu.
633. Le procédé auquel nous sommes conduit par cette théorie revient évidemment à multiplier la formule
dx^i+p* par une constante arbitraire et à Tajouter à l'autre.
C'est la règle qu'Euler proposa le premier pour convertir un maximum ou minimum relatif en maximum ou minimum absolu. (iVb^eXVlH.)
634. Il suit de ce qui précède qu'on peut maintenant appliquer la formule (40 ^ l'équation (91). Ainsi , en adoptant Thypothèso que les points extrêmes de la courbe soient ûxes^ cette équation (4i) se réduisant à la partie qui est sous le signe d'intégration, nous donnera
dp d^ dx d .t*
et si Ton compare la partie qui est affectée du signe d'intégration , dans Téquation {91) , à cette formule
Vdjr = Mdx-4-Nd/-H Pd/? -h Qd^ -h. . .,
on aura
dV dY dV np
M=:0» N ou -r— =:-r— 5 Pou -7—= ; 9 Q =^ o ; .
df àx dp v^i-f./7»
au moyen de ces valeurs, la formule (92) donnera
dY v[i-f-/^'
488 CALCUL DES TAniATIOffS.
effectuaiit la dillérentiation du Second terme par la règle des fractions , et mettant le diviseur dx en dehors , on trouvera
dY I \ V^îH^/j
réduisant au inème dénominateur, et efiaçant les termes qui se détruisent , on trouvera
dY I ndp
dr n(iultipliant par dy^ et changeant — en p, on aura
(93) dY--«eé£=^;
observant que le numérateur np àp est , à un facteur constant près, la différentielle du dénominateur, on int^rera par Tart. 271 la fraction qui forn^e le second terme de r^quation (pS), et Ton trouvera
Y-f./i(i-h/?»)'^=A) on tire de cette équation
el, par conséquent,
ce qui donne * ,
ç^Ui, en changeant l'exposant fractionnaire en radical,
MAXIMA ET MlIilMA DES FOIRMULES 1NTÉ6UALE5. 4^9
mettant -r— à la place de /?, et multipliant ensuite par àx on obtient ee résultat,
==:^dxM-d/%
6— Y d*où Fon déduit, en élevant les deux membres au carrée
faisant passer dx* dans le premier membre, et le mettant en facteur commun 9 on obtiendra
ou , en réduisant au même dénominateur,
tirant la valeur de dor', on aura qnfin
équation qui donne, en passant à la racine ,
et en intégrant , on trouve enfin
/ ^^ r (* — Y)dj
Quand on aura donné la fonction Y, cette équation sera celle de la courbe cherchée.
Les constantes £ , c et n se déterminent par les conditions que la courbe passé par les points fixes A et B, et que la partie de la courbe comprise entre, ces limites ait une longueur donnée.
635. Supposons mainieuant que la fonction Y de j^ soit cette ordonnée même. L'intégrale /Ydx représentera alorvS
4{)0 CALCUL DES VARIATIOAS.
(art. 348 et 349} Faire d'une coiirbe plane, *el le problème énoncé (art. 631) se réduira à celui-ci :
Déterminer, parmi toutes les courbes planes fie même longueur, quelle est celle dont la superficie,^ exprimée par fyàxj est un maximum ou un minimum.
Dans ce cas » 1 équation ( gS ) se réduit k
et comme le numératieur est, à un« constante près , la différentielle du dénominateur^ nous parviendrons à intégrer le second membre de l'équaticm (96), en supposant (art. 271)
ce qui nous donnera
et nous changerons l'équation (96) en
et en intégrant, nous aurons
.T ziz z^ '\- constante ;
rétablissant la valeur de z en mettant c à la place 3e la constante « nous trouverons
je7= c-H ^n^— [b — y)% et si Ton observe que le carré de i ; — y est l«e même que celui de y — i , cette équation pourra se mettre sous cette forme
ce qui est l'équation d'un cercle décrit avec le rayon w, et qui aurait c et i pour coordonnées du centre.
636. Cet exemple suffit pour montrer commjent, en donnant une forme particulière à la fonction Y, on peut obtenir la solution d'une foule de problèmes fie même genre.
FIW nu CALCUL DES VAlllATIOJNS.
