SOTE II

on déterminera de même tous les autres coefficients , et en mettant leurs valeurs dans Téquatiou (i) ^ cette équation deviendra

. f/if/n— i) , nitm — i)(/w — 2) *

Faisant js = - 9 on aura

Réduisant le premier membre au même dénominateur, on le convertira en

ou plutôt en •

Substituant cette valeur dans Téquation précédente et chassant le dénominateur du premier membre, on obtiendra

ce qui est la formule de Newton.

NOTE II (page 23).

MOYBII USITÉ POUB TBOOVBB PBOIIPTEMBIIT LA DirFÉBBBTlBIXB DB «'.

On peut supprimer tout le reste de cet article et le remplacer par ce qui suit, où Ton prendra connaissance d'un procédé en usage pour parvenir plus vite au même résultat, mais qui se rattache moins à la théorie générale que nous avons exposée.

Si de Téquation (19) (page 23) , on retranche l'équation primitive,/ = a', on aura

DIFFÉRBNTIELtE d'une QUANTITÉ EX1»OIfENT41$LLE. 49?

Mettant a' .en facteur commun , dans le second membre de cette éq[uation , on trouvera

Faisant a = i +& pour que a^ puisse se développer par la formule du binôme , cette formule donne

Multipliant les deux membres de cette équation par a', après qu'on aura fait passer Tunité dans le premier, on obtiendra •

En vertu de Téquation (i) on peut remplacer le premier membre de celle-ci par^ — jr^ et en divisant par A, on aura eofin

Passant à la limite, on fera A = o, et cette équation deviendra

àx / ^ b* b^ b* \

ou , en remettant la valeur dey,

da dx

Représentons par A la suite qui est entre les parenthèses , e esi-à-dire posons

494 MOTË lit.

et rëquatioii précédente deviendra

dfl' ,

— - rr Aûf*.

QJC

NOTE m (page 38).

MANIÈRE DE TSÔUVBR LE DÉYBLOPPEMEIIT DU LOGARrTHlIE DE x-f- A.

Voici un des procédés employés pour trouver le logarithme de x-\- h. On cherchera d'abord le développement de log ( I -4- Jc) en opérant de la sorte : on égalera log ( i -f- /i ) à une suite de termes ordonnés suivant les puissances de x, en observant préliminaireraent que* dans cette suite, il ne peut y avoir un terme indépendant de xf. En effet , si Von

avait

log{i -J-.r) = A 4- B.r-i-Cx*-4-.^ . ,

cette équation devant avoir lieu, quel que soit x, il en résulterait qu'en faisant x = o, on trouverait A = log i r= o; ainsi nous écrirons

(i) log(i 4-a:) = Ax4-Bj?^-^Cx3-HDx< -h. . ..;

changeant x en z, on aura pareillement

iog ( I H- z) — A z 4- B 2' ■+- C 3' -h . . . ;

z étant arbitraire , nous pourrons supposer qu'il y a entre x et z la relation '

( 1 -h .«}" ou I -f- 2x-+-x' = I -hz;

tirant de cette équation la taleur de ^, et la substituant dans l'équation (i) , nous trouverons

log(i-f-x)* = A(2a:-hjp2)j.B(2x-hJ?')'-hC(a^-f-x2)3-f....; pu , en développant et ordonnant par rapport à jp ,

log(i4-^)^=2AX"|- A 1 j:»H-4B Tar^-h 9J«:*-h... (2)1 -+.4B) 4-8ç| 4-I2C

-Hi6D