DÉVELOPPEMENT H^VV LOGARITHME

D'une autre part, la propriété des loganthmes étant exprimée par (^ette éc[Uatioii log a'' = n log a , nous avons

log (l -h *)' ^ 2 l<^ (l 4- or) ,

ou, en mettant pour i -^ x son développen^ent (i),

"log (l 4-^ j?)V:=r a (Aor -H B^' -h C;r5 4- . . . ) ;

substituant cette valeur de log (i -h .r)' dans le premier membre de Téquation (2), nous aurons une équation qui aura lieu^ quel que soit :r^ par conséquent, en égalant entre eux les terpies affectés des mêmes puissances de a:, nous obtiendrons

2A = 2A, A4-4B=2B, 4B-h8C=:2C, etc.;

d'où nous tirerons

B = -^-» C==— ^ = ^j etc. ;

substituant ces valeurs, nous trouverons

log (i -+-.«) =^ A la: h-j — -T-H- • •) -h C.

La constante est nulle, car a: = o donne C = log 1 = 0.

Faisons x = -? nous aurons i 4- x == ; substituant,

et changeant en différence le logarithme du quotient, il

vient

log(^H-A)^logx = A^---— 4-^~p;4-...j:

cette équation donne , lorsqu'on passe à la limite,

dlog.r A , . j 1 ^^ A

— --2^ = -9 et par conséquent cl log .r 1= — A ,