H>TE IV

NOTE IV (page 46).

SOPPLÉIBIIT A LA DirrÉABSTIATIOR DBft rOUCTlOllS DE PLimitCM

VAEIABLBS.

Si, comme dans l'art. 68, u est une fonction de trois variables indépendantes x^jr, z, nous en trouverons la difTërentielle seconde en réunissant les différentiel les de

, , du , du . da ,

dx ûy âz

prises par rapport à chacune des variables ; mais pour cela il faudra observer que dx n'ayant point de différentielle seconde à cause de Tindépendance de x^ il en sera de même dedy etde dz^ k l'égard de jr et de x:. Ainsi , en différentiant, nous traiterons les facteurs dx, dy et dz de l'équation (i) comme des constantes , et nous aurons y en différentiant

par rapport à ;r, ^,dx' + g-I^djrd* + jJiL d.d*,• par rapport à 7, ^^''''Ij' + apd/'+d^^d.dr,

par rapport à z . -i — ^dxdi-h-; — r-draz -H -3-- dx'; '^ '^'^ dards dydz d«*

ajoutant ces résultats , on aura pour la différentielle totale de l'expression (i) ,

iz'

. d*ii , , d^u , , d'« ,

d'a=: j— dx'-4-T-.<^/ -+■ j-T^ , , , dx^ dx* dz*

^ ' * ad'i» , - ad'u , , ad'ii , ,

-H j . dardr-f- -j — y-dxdz-h djrdz.

dxdy d.rdz djd»

Si (u) n'était fonction que de deux variables x et j^, ce résultat se réduirait à

/ox ., d'tt j , d'« , , ^d^u . ,

^ ^ dx' dj' ^ dordr

StlPPLÉMENT A. XA DtFFÉREKTlAWON. ^9^7

en commuant de différentier de la même manière les équations (2) et*(3), on trouverait les différentielles ^roisième&, •quatrièmes, etc., de u^ et, dans ces différentielles sucées^ sives, on remarquerait aisément l'analogie qu'elles ont avec les puissances d'un binôme^ >d'un trinôme, etc., selon que la fonction se composerait de deux, de trois, ou d'un plus grand nombre de variables^

Dans l'hypothèse de l'art. 71 , où parmi les trois variables x^ y^ z que renferme w, il n'y a que les deux [N'emières qui soient indépendante», il faut regarder z comme une fonction de a: et de j^ dont on tiendra compte <lans la différentielie. Par conséquent , en remplaçant d^

par -j-dj? -I- -T-df^ la formule (i) pourra s'écrire ainsi :

-et u contenant z implicitement, sera ramené à une fonction de deux variables. La différentielle seconde de u se déterminera donc par la formule ( 3 )s, pourvu que nous traitions z comme une fonction Ae x ttàe y\ et la question se réduira

à obtenir les valeurs que prendront alors -r-- > t— ,> t — \ — >

et à les substituer dans la formule (3). Pour cet effet, les équaticœs (46) €>t (47) (art. 69, page4S) nous donneront d'abord pour les coefficients différentiels du premier ordre de II, par rapport à x, à y et à la variable z considérée comme fonction des deux autres ,

,,, d(a) au dtt ds àiu) au du 4^

^^ ' àx àx àz àx ày àjr àz àjr

différentiant la première de ces équations par rapport à x seul, d'après Fart. 14, on aura ce coefficient différentiel^

. à^lu) d»« d»tt àz d'ad'z

(5) 1'^ partie de -^ = T-. "+ TT" J~ ^- T^ Tli ' ^ "^ dx^ dx^ dzdxdx dz dx^

4y8 ' NOTE IV.

différeiiliaiil cnsuilt' la première des ëqualions (4) par rapport kz, fonction do x , on aura cet autre coeffrcîenl différentiel ,

^ d'(w) d^u i\z d*u dz dz

^ ' " d j:' d x d s (1 .r dz^ dx dx^

. , '11 du d^z '

nous n ajoutons point a ce resuKat le terme -r— -^ — p 9 que

devrait amener la règle de l'art. 14, parce qu'en mettant ce terme sous cette forme

d u d^z du \dz) dwdi du d . vonstante

dz dzdo: dz dx dzd^ dz dx

on voit qu'il s'évanouit , parla raison qu'une constante n'a point de différentielle. Ajoutant donc les résultats (5) et (6), nous aurons pour le coefficient différentiel par rapport à x,

' ^ ^ djc^ "" d^* "^ dïd7 ' dï "^ 57 * d7^ r** 7? d^ ' opérant de même pour j^, on trouvera

d'(tt) d*tf ad^tt dz dttd'z d'« dz» \ ) ^\yi — ^yt djdsdy dzdj' dz'dj»'

11 ne s'agit plus que de trouver ^ » On y peut parvenir

de deux manières différentes , soit que l'on différentie la première des équations (4), par rapport à j^ et à z traité comme fonction dej^, soit qu'on différentie la seconde des équations par rapport k xelkz traité comme fonction de x. Opérant dans la première hypothèse, nous obtiendrons, en différentiant la première des équations (4) par rapport

. , d'(a) d^u d^u. dz du d's

\^^ purtie de —

d.rd/ djrdr dzdr dx . dz d^rd^

ACCORD DE Lk KOTAXION DE FONTAlME. 499

tît en la différentiant pat rapport à z , fonction de j^,

. , d'fa) d'« âz d'adz dz

a'' paaie de \' => -5-,-p ^ j. — ^ . __ •

axay dxazdy^ dz* dy da>

ajoutant ces deux partiCvS , op trouvera

d'(tt) d^ic .. d'« dz du d*z

da?d^ d.rdjr dzdjr dx dz dxdy ^^^ ^ d'u àz d^d^dz

dordzd^ dz' df dx

Pour obtenir la différentielle de u , dans l'hypothèse où les deux premièrea des variables :t:,j^, z sont seules indépendantes^ il faudra donc, comme le prescrit l'équation (3), multiplier l'équation (7) par dx', l'équation (8) par djr*, et l'équation (9) par 2 dxdy, et former la somme de ces produits ; mais en prenant cette somme , on aura soin d'opérer quelques réductions , en observant que

dz . dz , ,

-r^ do; -H -r— d/ = dz ;

dx ^dy . '

et que cette équation étant différentiée , nous doniMî

d.r2 dard/ "^ dj» ^

NOTE V (page 47)^

ACCORD DB LA hotatioii db fobtaiiib avbc le sigvb de la

Di fféreuti ATion . .

Voici de quelle manière on pourrait démontrer directement que dans la nouvelle acception que donne le signe de

dr la différentîation à l'equatibn-p- = A, on a le droit d'on

Cl 3C

déduire celle-ci :

dx ' I djr A

Sait

5oo

iiroTÈ vt.

donc

xf X

effecluant la division ou développant cette frarlîon à Taido du théorème de Maclaurîn, on obtient

Oî'.— ir I B ,

passant à la limite, on a

dx I

ce qui montre qu'en regardant x comme une fonction dey, le coefficient différentiel se trouve en divisant l'unité par le coefficient différentiel A, qu'on obtiendrait en regardant/ comme une fonction de x.

NOTE VI (pages 172 et 176).

PRlHGlPk Dfe LA HÉTHODE DES COSFFIGIBNTS IHBÉTERMUÉS.

On peut démontrer de la manière suivante que , lorsqu'une équation , telle que

(1) Ax*-4-Ba?*-' ^-C^-^ .. -h Dx-f- E = o,

a lieu quel que soit a: , il faut nécessairement que- chacun des coefficients A , B , C , D , E , soit nul. En effet , puisque x peut avoir une valeur quelconque y faisons a: = o, Téquation (i) se réduira à E = q ^ et comme E est indépendant de X, ce terme sera donc encore nul lorsque x n'égalera pas zéro; d'où il suit que l'équation (i) se réduira à

AaH»-hBa:«-'4-Ci:'""-».. .4- Djr = o; supprimant le facteur commun x , il restera

Appliquant à cette équation le même raisonnement qui-

MÉTHODE DES CO£FFICIE^TS IHDÉTEIIMIIIÉS 5oi

nous avons emplo^yé à l'égard de l'équation (i) , nous prouverons que D est nul ^ et en continuant ainsi , nous trouverons successivement que les autres coefBcients le sont aussi.

Dans mes remarques sur l'Algèbre , j'ai donné la démonstration suivante de ce théorème : soit l'équation

dans laquelle x reste indéterminée. Il s'agit de prouver qu'on ne peut satisfaire à cette équation qu'eu égalant séparément chaque coefficient à zéro. En effet, ou les termes de cette équation sont nuls par eux-mêmes , ou ces termes n'étant pas nuls séparément, coo(iposemt plusieurs équations qui , étant ajoutées ensemble, forment la proposée; ou enfin la proposée ne résulte pas de la somme de plusieurs équations ) et ne peut être satisfaite que par la destruction mutuelle de leurs termes.

Dans ce dernier cas on sait, parla théorie générale des équations, que la proposée ne comporte pour x que m valeurs.

Dans le second cas où elle est formée de la somme de plusieurs équations égales à zéro, pour que la valeur de x soit convenable^ il faut qu'elle satisfasse en même temps à toutes les équations composantes^ ce qui exige qu'elles aient un facteur commun . Par exemple , si les nombres « , ë, y, etc., satisfont à l'équation somme, il faudra que Les équations composantes admettent les mêmes racines, et soient divisibles par x- — a , par x — 6 , par x — y, etc. , ou plutôt par (x — a) {x — 6) (x — y) , etc. Or, ce facteur commun ne pouvant être d'un degré supérieur à celui de la moins élevée des équations composantes, est nécessairement d'un degré inférieur à celui de la proposée, ce qui limite encore plus les valeurs de x.

Enfin , si les termes sont chacun nuls , on aura les équa-