JU'A NOTE VII
tions
dans lesquelles x devant conserver sa valeur indéterminée^ ne pourra être égalé à zéro^ mais si Ton fait
la proposée sera satisfaite, quel que soit x.
NOTE Vn (page 228).
IHTÉGaATlOR UES PRACTIOIVS BATI0II1IBLLB8 QDI, DAfliS LBDBS HÉHOVr- NATBimS tûàhtS A ZÉRO» CONTIEIIIIBIIT DBS BACIIIB8 IKAQIIIAIBBS ET ÉOALBS.
L'intégration des fractions rationnelles de cette espèce se
réduisant à telle de la formule 7-r '■ — r-i comme la manière
dont nous avons intégré cette expression (page 228) est un peu compliquée, nous allons indiquer un procédé moins direct, mais qui est en usage pour parvenir promptement à ce but.
On supposera
r dz ___ Hz r dz
ou 5 ce qui revient au même ,
diilérentiant, on a K
(ê'-hz')/'-'
ou
dz Hdz(6'-}-z^) iiH{i — p)z'dz (ê'-f-z'jd:
(g^-^ji);» (g>4-s5)/> ^ (gj-j-^a)/» ^ (ê^-Hs')'
SIH UWE rnOPRlÉTÉ DES* ÉQUATIONS. 5o3
bupprimant les facteurs communs, on trouve
égalant entre eux les coefficients de z', et, d'une autre pari, ceux qui en sont indépendants , on obtiendra
i=:H6»-hK6% H-f.2{i—>»)H-hK=:o;.
ces valeurs donnent
H 'et K étant connus, on en substituera les valeurs dans l'équation (i) , et Ton aura
r dz I z
^"^^ ^ (2A> — 3j r dz
ainsi r intégrale de tt; rrr dépendra d'une autre, dans
laquelle Texposant de la parenthèse sera moindre d'une unité. Si dans la formule (a) on suppose ensuite /;=p — i ,
dz ou fera dépendre l'intéiçrale de ^ — de celle de
-r— —^T— jj et en diminuant ainsi successivement l'expo-
dont rintègrale est [art. 27(î (page ipS)],
iarc^tang^-).
NOTE Vm (page 237).
DÉMOHSTRATIOH DIBECTE DE CETTE PROPOSITION > QUE LORSQUE L'ÉQOA- TIOH x^'-f- Px'"~' H- Qa^"'"'. . .4- R Jr 4- S = O EST SATISFAITE PAR VUE VALEUR a MISE A LA PLACE DE x, CETTE ÉQUATIOII EST DIVISIBLE PAR
Pour commencer par le cas le plus simple et le plus fré-
5o4 woTEr virr.
queut , prenons l'équation élti' second degré
( I ) .r* — bx — « =r G ,
et supposons que a et a' satisfassent à cette éq^uation , nou^ aurons
(2) a' — éa — /ï=:o,
'(30 a''— Aa'— ff-rro.
L'équation (t) nous fournit cette identité :
(4) ^^ — bjc — iis=A' — bx — a;
tirant la valeur'deade Téquation (2), et la substituant dans le second membre de Téquation (4) ? on obtient
or' ^- ^x -~ fl = -c' — bx — ot*4- 5 a,
et, par conséquent,
(5) x^ — bx — a = (x — .u)(x-hoi) — b{x — a).,
X'^oL étatit facteur commun du second membre. L'équation (5) peut se mettre sous cette forme,
(6) X* — bx — a=: (x— a) (jf-#-a — b).
Maintenant, si Toa retrancbe Téquation (3) de réqualion ( 2 ) , on obtiendra
ou
(a — aQ (a -4- a') — 5 (a — a') = G,
et comme a — u' est facteur commun , eetie équation peut *' écrire ainsi :
et, par conséquent, d'où Ton tire
BéVELOPP. DES PUISSANCES DBS COS. ET ÏDES SIN. 5oS
suhstituant cette valeur dans le second membre de l'équàtion (6), on obtient enfin
j?» — bx — a-=[x — a.) (.r — a!).
Ceci n'est qu^un cas particulier d'une proposition plus générale quon démontre dans les éléments d'algèbre, et qu'il est facile de déduire de la manière suivante de la iVo^eXVn(page 536).
En effet, soit
une équation à laquelle d satisfait *, nous avons donc
(8) a«-f A a*-* -f•Ba^^.i -4-Ra4-S=0.
La valeur de S tirée de Téquation (8) étant mise dan^ l'é^ quation (7), on obtient
(g) a:"— a"»-hA (a:«-'p-a«-») -f- B (^-»— oc"-"*). . . H-R (ar— a)=o ;
tous les bmômes qui composent Téquation (9) étant divisibles par (ar — a), en vertu du ibéorème démontré ( Note XYII) , il en résulte que cette équation est divisible par (x — a) ^ et que cela a lieu également pour l'équation ^7) qui est la même , quoique sous Une forme différente.
Par conséquent, si l'équation (7) est satisfaite par un nombre m de valeurs , a , 6 , y, etc., cette équation renfermant les facteurs \x — «) > (^ — 6) y [x — 7), etc., qui sont en nombre m , elle sera exprimée par le produit
NOTE IX (page aSi).
DÉVELOPPEMEHT DBS PUISSASCES DBS COSIIIIJS BT DBS SIHUS BR POBIGTIOII DBS ABCS MULTIPLBS) OU. THÉOBIB DBS FOBCTIOIIS ABQULAIBBS.
Il existe une formule très-élégante , qui donne la valeur d'une puissance d^un cosinus en fonction des quantité»
So6 NOTE IX.
cos x^ cos a X, cos 3 x, etc., et une formule analogue a lieu aussi pour les sinus : il importe de les faire connaître; mais, avant que de nous occuper de cet objets nous commencerons par donner la démonstration d'une formule imaginaire remarquable, que nous allons bientôt employer. Soit donc l'expression cos* ç -f- sin' (f , qui est le produit
des deux facteurs cos (f -+- sin y.^ — i , et cos <f — sin y ^ — i ;
si nous faisons cos y -+- sin y ^— i = Fy , nous aurons, en différentiant ,
dF« /
— j—^ = — sm (j> -1- cos ^ V — '»
cette équation étant multipliée par — ^ — i, devient
dFç / . r — •
3— î- V — 1 = sin«> V — 1 H- cosç;
dff
et puisque par hypothèse son second membre est égal à Fy , uous avons
. — s;^v/^=ft,
d'où l'on lire
iIî__il- = il. ^{Ei =i, JZTi ,
et, en intégrant, on trouve
Passant aux nombres , on a
et , eu mettant pour Ff sa valeur, on obtient
(1) cos (p -4- sin ç \^ — iz^^yv-"*.
Cette équation ayant lieu , quel qu6 soit <p , on pourra chau-
DÉVELOPP. DES PUISSAlfCES DES COS. ET DES SIN. So^
ger <f en //i(p, et Ton aura encore
cos/wy -h sinm^y^ — irse'"?^— »,
Il existe une autre expression de celle puissance imaginaire de e; car l'équation (i) , étant élevée à la puissance w, nous donne
Les seconds membres de ces dernières équations étant les mêmes, on a, en égalant les premiers,
(2) ■ (ces <p H- sin y v^ — I y* = cos/w ep -4- sin m y y^ — i;
si l'on fait y = — ç dans les équations (i) et (2) , ces équations deviendront
(3) ces — «j;-+sin — ^V^— i=:e— ?^v-ij
(4 ) (cos — (p -h sin — 5> ^—f)"* :=z CCS — m ç 4- sin t— /w y ^ — 1.
Or, si (f est représenté par Tare AD (fig^ 83) , — ç le sera par AD' 5 et comme ces arcs ont les mêmes cosinus et des sinus de signes contraires , on aura
cos — (j> = cos^y sin — <f =z — sin (j> ;
on prouverait de même que
cos — mf=z cos m «p, et que $in — /n ^ = — sin /t? <p ;
substituant ces valeurs dans les équations (3) et (4)5 on obtiendra
(5) cosy — sia«p \/ — i=c î'V""',
(6) (cos <p — sin^ ^ — i)'" = cos/wf — sinmf ^ — i •
Cherchons maintenant le développement de cos"*a: en fonction des arcs multiples de x, et sans employer les puissances des isinus et des cosinus. Pour cet effet , soient
(7) cos jr -H sinjT v/ — !=:«,
(8 ) vosx — sin .T. y — 1 = 1/;
5o8 HOTE IX.
ces é<mations étant ajoutées , donnent
COSX = — (tt -i-p),
et, par conséquent,
cos* jr = — (a -I- plTi cos'"x = — (*^ -h u'f* ; développant ces binômes parla formule usitée, on obtient
ces'
CCS'
a: = — p" 4- wi^"~' a -h iw i- «^"-' a' -h ... 1 :
ajoutant ces équations, on trouve
-f. m \ L u^ui («^^4- p«-«) 4- . . . •
On tire des formules (y) et (8),
tt" = (cosor 4- sinx ^ — i )", v^ = (cosx — sinx ^ — i)"}
mettant dans les seconds membres de ces équations leurs valeurs données par les formules (a) et (6) , on a
, ( a'"=cos/iM: 4-sin/wa: v^ — j,
f «^ = cos mjc ^ sin mx y — j , donc
i^w ^ pj» -- 2 cos mx , et a" p" = i ,
Uif = I ,
a»»-» 4- (^w-î =: 2 cos( 1» — a) X , tt'"-^ (>"-' = i ,
«'"-< -f. pw-i rrr 2 cos ( /n — 4 ) "^ > '*"*"* ''**"* = ' >
PÉVELOPP. DES PUISSANCES DES COS. ET DES SIN. 5o9
Eu substituant ces valeurs dans l'équation (9), on trouvera
[ncosmx -4- aw cos(m — 2) .r (m i) -+-2/w^ ^cos(/w — 4)ar-^i . .
Ce développement provenant de celui de (11 + v)"**^ contient m-f-i termes; si l'on fait successivement m ==2. /n = 3 , m = 4? etc., et que l'on change les cosinus d'arcs négatifs en positifs, en vertu de l'équation cos — (p = cosf , on formera le tableau suivant :
ces' jr = -j cos 2 jp -4- 7 ,
cos3j? Scos.r cos^a: = — 7 1 7 — 9
cos4^ , ,
cos^ X = — -^ h î cos 2a: -H |.
On peut abréger ces calculs, car les termes également distants des extrémités de la série sont égaux. Pour le dé-^ montrer, nous remarquerons que les cosinus qui entrent dans l'équation (11) étant
cos/nj7, cos(/w — a)**, cos{iw — 4)^» cos(m — 2X3)^:,...,
ou plutôt
co8/w.r, cos (m — 2Xi)«r> cos (m — 2X2)^, cos (/« — 2X3).r,...,
en considérant les nombres qui suivent le signe X dans chaque terme de la série , on voit que l'un de ces nombres indique celui des termes précédents. Ainsi , le terme qui en a n avant lui , sera affecté de cos (m — 2 n) :r. A l'égard du terme qui en a /z après lui , comme le nombre total des termes de la série est w -h i , celui qui en a n après lui tiendra le rang m -+- 1 — /i , et, par conséquent, aura m — n
