X0 NOTE IX

termes avant lui ^ donc il renfermera rexpressiôn

cos [m*— 2(iw — n)]x =:: ces ( — m •+■ 2 « ) jf ;

et comme nous avons vu qu'on avait le droit de changer le signe de Tare dont on a le cosinus , on aura

cos ( — w -h 2 /ï ) .r = cos (m — 2n) x;

donc les termes également distants des extrémités de la série ont les mêmes cosinus , et comme ils ont aussi les mêmes coefficients (*) , puisque ces coefficients sont ceux de la formule du binôme, il en résulte que ces termes sont égaux. Ainsi , lorsque m est impair, le nombre m -h i des termes

de la série sera pair, et il suffira de doubler les premiers termes 5 pour avoir la totalité des termes, de la série*, si m est pair, m -f-i sera impair, alors on ajoutera au terme du milieu le double de ceux qui le précéderont. Ce terme

tiendra le rang h i dans la série, et, par conséquent, il

sera affecté de cois {m — m) = cos 0 = 15 donc il ne contiendra pas de cosinus.

Par un procédé analogue , on peut trouver le développement de sin'"^:. Pour cet effet, en retranchant l'équalion (8) de l'équation (7), on trouve

2sina:\/ — i =u — 0; donc sin.r=:

élevant les deux membres de cette équation à la puissance w, on aura

sin^JT = ^ . (u — v]'";

(*) On peut le reconnaître en comparant le développement de (a 4- b)" a celui de {h -\- tt)*», écrit à rebours.

DÉVÉLOPP. DES PUISSANCES DES COS. ET DES SIN. 5ll

si m est égal à un nombre pair 2/7, on a

(w — (/)/» = [(«— p)»]P=[(»'— a)']^=:(p~ uyP',

donc

On développera les équations

sin^r = , — . lu — c)"* et sin'^a: = - — ==t- (c — wO":

et, opérant comme nous l'avons fait ci-dessus, on trouvera

cos mx — m ces [m — 2) j- T

^ fn "^ cos [m — 4 ) -^ "+- • • • I

la quantité imaginaire (2^ — i)'" disparaîtra du [résultat, puisqu'elle est élevée à une puissance paire.

Si m est égal à un hombre impair 2^4-15 on aura

par conséquent,

{m — p)'*= — (p -^- «)*", et

développant [u — p»)"* et (i^ — li)'", par la formule du binôme , et substituant ces développements dans les équations (12), qu'on ajoutera, on aura

retranchant les équations (10) l'une de l'autre, multipliant ensuite entre elles ces mêmes équations , et observant que la seconde opération nous donne la somme des carrés de sinmj:

5X2 MOTS le.

«l do cosmjr, qui éi|uivaut à runité , on trouvera

i4«" — p* = 2 sin mx y — i , m" </" = i .

En opérant de la mèm<e manière que ci-dessus , on changera donc l'équation ( 1 3 ) en

sin ma: sîn{ m — 2 ) .r

/w(in— i) . . • /\ \

— ^ i-sin [m — 4)^"*"* • •

Comme dans cette hypothèse m est impair, la puissance m — 1 5 à laquelle la quantité 2 ^ — i est élevée , «st paire, ce qui Taîl évanouir Timaginaire v^ — -i .

NOTE X (pageaSa).

VOTBH DB DÉTBBMIIIBB LES VOLUMES DES COBPS DONT LA SURFACE PCIJT ÊTBB EXPBIMfiE PAR UNE FONCTIOII D'UHE MÊME VARIABLE.

Lorsque les solides ne sont pas de révolution , on peut quelquefois en déterminer le volume à l'aide d'une simple intégration, sans faire usage de la formule (96) (page 280). C'est ce que nous allons exécuter à Tusage de la pyramide ABCD {fig- ia5). Pour cet .effet 5 coifcevons une section GFE, parallèle à la base DBC, et du sommet A abaissons une perpendiculaire AH sur la base DBC ; nommons xeih les parties AI et IH de cette perpendiculaire, comprises entre le point A et les plans DCB , GFE ; Paire du triangle GFE diminuant ou augmentant, selon la valeur que ron donne à :r, est une fonction de j:; on a donc

GEF =/r, DBC =/(x -h /*)•

Le volume de la pyramide AGFE étant aussi une fonction <le X , nous pourrons supposer

voL AGEF = «p^, V(/L AOBC = «p (,r -+- A),

DÉTERMINATION DES VOLUMES DES CORPS. 5l3

Or il est évident que la pyramide tronquée GB, qui est la différence de ces volumes , sera moindre que le volume du prisme, qui a BCD pour base et h pour hauteur, et surpassera le volume du prisme, qui a EFG pour base et h pour hauteur. Le rapport de ces prisnics est

fx,h /r '

dans le cas de la limite, ce rapport devenant égal à l'unité, à plus forte raison le rapport qui existe entre le tronc de pyramide GB et l'un de ces prismes sera alors égal à l'unité. Le volume du tronc de pyramide étant représenté par ç (or 4- A) — q) a:, le rapport de ce volume à celui du prisme dont GFE est la base et h la hauteur, sera

passant à la limite, nous aurons

(I) > \ ■= j ^ ou dtfxz=fx.dx,

^ /x,dx

Par la méthode des inflniment petits, on serait parvenu au même résultat*, car, en concevant la pyramide comme composée d'une infinité de tranches parallèles à sa base, chaque tranche pourrait être considérée comme un prisme dontyi serait la base et dx la hauteur; donc Jx.dx est l'élément delà pyramide.

Pour déterminer maintenant le volume de la pyramide, soient B l'aire de sa base DBC, et A sa hauteur; nous aurons

B:fx::A*:x';

donc

B.r' fxz= — -:

5l4 MUTE XI.

substituant cette valeur dans Téquation (i) , on trouvera

dcpo: =^ — : — d J?,

et, en intégrant ,

Le volume AGEF, représenté par ç a:, s'évanouissant lorsque a: = o, il n'y a point de constante à ajouter 5 si l'on fait ensuite x = A, on aura, pour l'intégrale définie, l'expression -^» qui est celle du volume de la pyramide ACBD.

En général, si la section GFE , au lieu d'être un triangle, est une surface quelconque, pourvu que cette surface soit une fonction de Xy on démontrera, comme nous l'avons fait pour la pyramide , que Télément du solide a pour expression/i.dj:.

NOTE XI (page 283).