DIRECTEMENT PAR UN PROCÉDÉ NOUVEAU

Proposons -nous directement de résoudre ce problème : Trouver le cosinus de l'inclinaison de deux plans. Soient DB, DC, CB [fig- 126) les traces d'un plan DBC sur les plans coordonnés, dont les axes rectangulaires sont dirigés suivant les droites AB, AC et AD \ nommons AB, a; AC, è; AD, c \ et représentons par a, |3, y, les angles que le plan DBC forme, avec les plans des /, z^^ desx, z et des x, y^

les projections.de la surface BCD sur ces plans étant — >

ac ab j"« ' I . * ^ /-j ^

— j — > nous aurons, a après la note précédente,

ah bc ^ ac

(i) DBC ces 7 =2= — > DBCcosa = -^, DBCcos6=i — ;

élevant au carré chacune *de ces équations , si l'on en prend la somme, et qu'on remplace par l'unité celle des carrés des cosinus^ on 9b*tiendra,^après avoir tiré la racine carrée.

DBC = -i. Vu' ^' "^ *' ^' T+- '«' ^ ?

substJtiiant cette valeur daus la. première des équations (i), on en déduira

(2) COSyrr

Soit maintenant A x -H Bj^ -f- C -z -h D = o l'équation du plati DBC -, si Fon fait / = o, on aura Aj:4-C-è-|-D = o, pour l'équation de la trace DB. On tire de cette équation

Aj:D ^~" "c"' c'

^. Gbôiiné au siâit iquc dansréquâtion delà ligoe droite mise sous cette 'forme, le coefficient de x représenta la tangente • trigonmnëtriqùe 'de Tangle formé par la droite avec l'axe des x^ nous aurons donc

tangDBA = ^-^ mais le triangle rectangle DBA nous donne

tang DBA == - ;

. en comparant ces deux valeurs, on a

faisant ensuite a: ==? o , danp Péquation du plan , pour avoir celle.de sa ti*ace sur le plan Ses x^.jy on trouve de même'. '♦'■' ' *■ .'*; '•'' ■ — •"•* -.'•.•.'•• *• -• • ■ •

substituant ces viileurs dans 'Kéqiiâti'on -{.2 ),i<>0. obtient

•— -nr-

Si Ton divise maintenant 1 éjuationda plan par G, etcpi'oii la différentie successivement par* rapport -aux variables^ j^ etjy, on trouvera

' àz' A d« B[ ^

substituant ces valeurs dans celle de cos y^ on aura enfin

cos 7

courbe' A DOUBLE CÔURBLRE. Siy

NOTE Xm (page 324).

COMMBHT CHE COIIRBE A DODBLE COURBURE PEUT ÊTBE CONSTRUITE AU MOYEN Dl^ DEUX ÉQUATIONS ENTRE TROIS TARIABIiES.

Il est facile de prouver que les équations (i 54 )) page 3 23, appartiennent à une courbe à double courbure. Pour cet effet 5 changeons les y en z et les z en jy, afin de placer les axes coordonnés d'une manière plus commode pour notre démonstration *, nous aurons les équations

(i) z*-h aar/-^ j' = o,

•Si la première existait se.ule, on pourrait, pdr son moyen, construire une surface courbe. En effet, si par tous les points du plan des* x y y^ que nous supposerons , comme à . rordînaire, horizontal , nous élevons des perpéndicûîâîfiés, ' ' les valeurs" "'en' seront déterminées au moyen de l'équa- Vtîon (i) •, et Ton sent que les extrémités de ces ordonnées z constitueront une surface courbe. Lorsque quelques-unes de ces coordonnées sont imaginaires, c'est un indice que la surface ne s'étend pas dans les endroits où subsistent ces ordonnées imaginaires.

Si maintenant nous avons égard à Féquation ( 2 ) , nous établissons par cela même, entre x et j^, une relation qui assujettit les pieds des ordonnées z à être sur la courbe qui appartient à l'équation (2) , et l'on voit que, dans ce cas, les extrémités des ordonnées z ne forment plus une surface , nuais une courbe. Le système de ces ordonnées z constitue alors une surface cylindrique , dont l'intersection avec le plan des Xyj est donnée par l'équation (2). C'est Tintersection de cette surface avec celle que détermine l'équation (2) , qui fortne la courbe dont nous venons de parler; et il est évident que cette courbe est à double courbure," ''''

5l8 «OTE X¥.

puisqu'on sait que l'interseclion de deux surfaces courbes forme une courbe à double courbure.

NOTE XIV (page 333).

VALEUB INDÉTEKMmÉE qUE» DAMS L^HYPOTHÈSE UlCNE SOLimON PAR- TICVLIÈRE, PREND QtELQIJEFOlS h\ CONSTASTE ÉLIMINÉE, LORSQUE i*ÉQVATIOIff DE CONDITION NE RENFERME QUE DES TARIABLES.

La rechercbe des solutions particulières d'une équation différentielle du premier ordre nous a conduit (art. 439) au cas où Téquation de condition çr = o ne renferme que des variables, et où la combinaison de celte équation avec

l'intégrale complète amène ce résultat c=— C*estcequi

arrive lorsque c n'entre qu au premier degré dans l'intégrale complète a = o.

En effet, cette intégrale est alors de cette forme ,

(i) P-4-cQ = o;

et par P et Q nous désignons des •fonctions de x et de y. Si nous difTérentions cette équation par rapport à x , à j et à c , nous aurons

{2) d P-hcdQ -hQdc=ro;

et puisque les variables renfermées dans P et dans Q sont X et y, nous pourrons représenter

d P par Max ^ N d j,

et

d(J par uidx ■^- ndy.

Substituant ces valeurs dans Féquation (2), elle nous donnera

d r = — ^ '■ -i dx — - — — — d r = o.

•^ N H- tn N -h, m

Dans riiypoihçscd'u"c solution particulière, le terme affeclé

SVK LN CAS DES SOLUTIQJNS PARTICULIERES. 5l9

de d c s'évanouit et nous donne

iN -h en

Celte équation, qui ne peut se réduire, parce que Q ne renferme pas c , n'est satisfaite qu'en faisant N -h cti = oo , ce qui donne c = oo , où en faisant Q = o. Le premier cas nous fait retomber sur une intégrale particulière, puisque toutes^Jes intégrales de cette nature sont comprises dans les valeurs que l'on donne à c depuis zéro jusqu'à l'infini. Nous n'avons donc, pour déterminer notre solution particulière, si elle existe, que l'équation Q = o ^ mais , lorsque Q = o, l'équation (2) se réduit a

dP4-cdQ = o;

si l'on en tire la valeur de c, et qu'on la substitue dans Téquation (i), on obtiendra

ou , en chassant les dénominateurs ,

(3) PdQ — QdP=o;

ainsi , dans le cas présent, l'intégrale complète 11=0 etia proposée U==o ne seront donc autre cbose que les équations (i) et (3). On tire de la première

celte valeur de c se réduit à - lorsque P et Q ont un facteur

commun que fait évanouir une valeur donnée aux variables , et que nous mettrons en évidence en faisant P = IP^ et Q = XQ'. Alors les équations (i) et (3) deviendront

(4) >(P'4-^;Q') — o, >(P'aQ — Q'dP) = o.

520 KOTE XY.

La seconde, qui représente la proposée, renferme, par hypothèse, des termes eu do: et en d/, qui ne peuvent se trouver qu'entre les parenthèses ^ puisque A , sous le rapport de facteur de la première des équations (4) , ne saurait renfermer que des x et des y \ et comme Topération de la différentiation tend à diminuer les exposants des variables ^ il faut que les variables soijent plus élevées dans la première équation que dans la seconde, qui en dérive, et que, par conséquent, P'-hcQ', qui ne leur est pas commun, soit une fonction de x et dey ^ et comme d'ailleurs P' -h cQ' contient une constante arbitraire c qui ne se trouve pas dans X^ on foit que P'-f- cQ' a tous les caractères de l'intégrale complète, et que X, au contraire, ne peut être qu'un facteur étranger à l'équation différentielle.

NOTE XV (page 337).

0inTB DE LA THÉORIE DE LAGllAIIGE SUR LES SQLDTIOHS PARTICULIÈRES, PRÉSENTÉE AVEC QUELQUES MODIFICATIONS. — MOYEN D^OBTENIR LA SOLUTION PARTICULIÈRE D'ifhE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE, SANS RECOURIR A L'INTÉGRALE COMPLÈTE; DÉMONSTRATION DE LA PROPRIÉTÉ DES SOLUTIONS PARTICULIÈRES DE FAIRE DEVENIR INFINI LE FACTEUR QUI REND INTÉ6RABLB UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE.

Nous avons vu qu^une équation différentielle du premier ordre M àiX 4- Nd^ = o. étant donnée, on pouvait la con^dérer comme Iç résultai de Téliminati on d'une constante c entré ' Tiiitégrale complète et sa différentielle yz=:pàx , et que le résultat éiaît le même que si , en supposant cette constante variable, Télimination s'effectuait entre l'intégrale complète F [x^y^ c) =oet àyz=pàx-{'qàc^ mais sous la condition qu'on eût ^ =; o. De même, si Fou admet que l'équation différentielle du second ordre ,

soit le résultat de réllmination d'une constante que Ton aurait fait varier^ comme on a , dans ce cas , les deux équations

d y (i) âjr = pdx -i-q dcj d.-p- =:/?'dj: -f- ç'dc,

on voit que, pour qu'elles se réduisent à

dy z:z pdxy et 4 d.--p- = y?' dar,

il faut qu'on ait ces deux équations de condition

et que, pour les réaliser, il ne suffirait pas de disposer seu^ lement de c , car cela ne remplirait qu'une condition; mais comme l'intégration de Téquation du second ordre a introduit deux constantes arbitraires dans Tintégrale complète, on disposera de ces deux constantes pour que les équations qz=zo^ q'=o aient lieu ; et il n'est pas besoin de dire que c sera l'une de ces constantes.

. pareillement,. la détermination des solutions particulières d'une équation différentielle du troisième ordre dépend des équations q^=o^q'=Oy (7"= 05 et , en général, pour obtenir une solution particulière de l'équation différentielle de l'ordre w, il faut le nombrç n d'équations de çonditk>h :

(2) y^P> ,î'=o> ^"=o> ^^^=0, etc.

■■'.•.."."...■ .MetlQnsJessôus" une aiitrè forme. Pour cela, les éqùa-i-:

lions (i) nous montrent que ^ et q' ue sont autre chose

que ce* qui mîil tîplie de dan s les différentielle? dé yj. et. dé

-p- ptisear par rapport à c. Ot) a donc

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