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et, en général, ou voit que les équations (2) reviennenl à

(3) -7^=0, ' ^ = o, , j, =0, , j; = 0 1 etc.

Il est essentiel de remarquer que ces équations ne peuvent avoir lieu jusqu'à Tinâni. En effet, -p» étant successivement différentîé par rapport à x dans les expressions j—?

d'r dV j dy

, , ^-; — T — ? etc., on peut regarder -t-^ comme une ceràcàx dcdx' ' r p ^^ :

taine fonction de x, que nous nommerons Y^ et, en supposant que X devienne a: -h A , le théorème de Taylor nous fera obtenir ce développement

,,, ^ dY, d'Y /i^ d^Y h'

(4) Y + -/i + ^. f. , etc.,

ax d x'. 1 . 2 d ar» 2 . 3

ou , en restituant la valeur de Y,

dj , d^j ^ à^x fi^

de dcdjE: dcdx'2

Or, tous les coefficients dçs puissances de A étant nuls eu vertu des équations ( 3) , qui , par hypothèse , auraient lieu jusqu'à Finfini, il en résulterait que ^ quand j: deviendrait cr H- A , Féquation (4 ) se réduirait à son premier terme Y;

ce qui montre que dans ce cas Y, c'est-à-dire -p-? serait

constant. Mais quand -p- est constant, c n'étant combiné

qu'avec des constantes, réquation-p-=^o devrait nous

conduire à c = constante. On voit donc qu'alors la solution particulière se changerait en line intégrale particulière, ce que iious ne supposons pas.

H résulte de ce qui préiède, que les équations (3) nr

peuvent avoir lieu jusqu'à l'infini*, c'est sur cette considération que repose la solution de . ce problème important résolu par Lagrange, et à laquelle nous ferons subir quelques modifications : Une équation différentielle du premier ordre étant donnée y trouv^er, saris recourir à V intégrale complète ^ la solution particulière quelle peut ai^oir. Soit u l'intégrale complète qui sera une fonction de x, dey et d'une constante arbitraire €\ la différeritiellje de u sera représentée par

(5) ^ mdx-h ndjr z=z o, et nous la mettrons sous cette forme :

(6) d7= — ^da:.

Dans le cas qui nous occupe , cette équation est censée avoir conservé la constante arbitraire (*) 5 pai* conséquent, nous

pourrons éliminer cette constante entre dy = dx et

ti = o. Tirant donc de l'équation (5) la valeur de c en fonc-

dr lion de j: , de r et de -T^ 9 nous obtiendrons

équation que, par abréviation, nous écrirons ainsi :

Celte valeur étant mi^e dans Téquation u~.o, nous aurons une équatioji du premier ordre, que nous désignerons par

(*),Si l'intégrale ooitiplète ne renierraait la constante arbitraire qu'aji premier degré , et dans un terme de cette forme ac , elle s'évanouirait par la différentîation, et l'élimination de c serait impossible; mais alors q étant constant, la proposée uc roraporterait pas de solutions particulières.