OTE XV

Si rëlimînation de -p- entre l'intégrale du second facteur

de Téquation (9) et la proposée U = o nous ramène à l'intégrale complète , nous allons reconnaître que réliminatiou

dr de ~ entre U = o et l'autre facteur de 1 équation (9) va

Cl vC

nous conduire à la solution particulière.

, , . . dr du

En effet , si l'on élimine -~ entre U = o et 1 — = o , on

voit d'abord que nous n'introduisons pas de constante arbitraire dans le résultat, comme par l'opération précédente , attendu qu'ici l'élimination s'effectue sans qu^on in-

JTT

tègre prélimînairement -j — II* suit de là qiie l'élimination

de j^ entre ces deux équations différentielles du premier

ordre ne peut nolis conduire à l'intégrale complète, qui contient nécessairement une constante arbitraire. Pour procéder à cette élimination , remarquons qu'elle se réduit à celle

de y, puisque -r— ne se trouvant nulle autre part que dansç,

Cl X

disparaîtra du résultat avec (p, et comme ce résultat ne conserve aucune trace.de ^, qui entre partout où entrait c, ou

sent que cela se réduit à éliminer c entre u = o, et -7— = 0, * . • -.de

dTT qui sont ce que deviennent U = o ïet y- = o, lorsqu'on y

du ' . '

change ç en c. Or, — étant le coeflScient différentiel de de ,

on voit que l'élimination de c entre u et ^ = o est précisément l'opération qu'on exécute pour parvenir à'une solution particulière

Cherchons maintenant à satisfaire à la cohdilion exprimée par la seconde des équations (10)-. Pour cela , si nous y

SOLUTIONS PÀRTICtLlÈRES. 5 27

remplaçons ^ par sa valeur donnée par Téquation (7), nous obtiendrons

de

On ne voit pas d'abord comment on peut exécuter cette

différentiation par rapport à c , qui , ayant été éliminé de U,

ne doit pas se trouver dans dU; cette élimination de c nous

a seulement appris que U est une fonction de x , de r et de

dr

-r— ? et que par conséquent dU ne peut être que de celte

forme :

(i4) Pdj7 + Qdj-f Rd. j^=o;

mais si c n'est pas en évidence dans celte valeur de dU, il y existe du moins d'une manière implicite; car nous savons que j^ est une fonction de .r et dec, et que, par conséquent, dj^ et d.-p^ doivent tenir lieu des valeurs suivantes :