KM Y *J

dr = "T- dx -h T-dc, *^ dx de

d r d'j d'jr

d . -r- = -r— do: -4- -p— - d c.

dx dx* dxdc

Par r hypothèse de c constant, ces valeurs se réduisent à

, dj

^ dx

et a

dr d'j d,---=z—.dx, dx d x'

équations dont les seconds membres expriment la condition expresse que la différentiation soit prise par rapport à X seul, condition que nous admettons tacitement dans l'équation (i4) ? lorsque nous y supposons c constant-, mais

5a8 NOTE XV.

lorsque c est yariable, il faut mettre dans F^quation (i4)

les valeurs de dy et de d . j^? données par les équations ( 1 5) ,

et nous aurons

(,6) Pd.-HQ (^d.:Hgdc)4-R (grfx+^dc) =0.

Voilà ce que devient dU lorsqu'on regarde c comme variable , et l'on voit qu'on a

^ " de de ôxdû

Présentement, si l'on passe à l'hypothèse d'une solution

du

de

particulière, on a, en vertu de l'équation (i3), -^ =0,

ce qui réduit l'équation précédente à (.8) qJT + r/^^o.

^ ' de dxdc

Si Ton suppose maintenant que cette équation ne renferme

point de quantités transcendantes, et qu'on ait eu soin,

dans les opérations subséquentes, de se débarrasser des '

radicaux par des élévations à diverses puissances, et même

•' • d*es fractions, les quantités P et Q que contient l'équa-

• * • ^ j Ûon (t4)» ne pourront devenir infinies. Cela posé, -p

etantnul.envertu.de l'équation (170), page 332, qui exprime la condition de la possibilité de l'existence d'une solution particulière, on voit que l'équation (i&) se réduit à .

or il peut arriver ces deux cas : ou —-i est aussi nul , ou il

djp*

ne l'est pas-, dans cette seconde hypothèse, c'est donc le

facteur R qui, devenant nul, satisfait à l'équation (19)5

d' r mais si, au contraire, -p^ est nul, Téqualion (18) est sa-

Cl vu

tisfaite indépendamment d%Q et de R, et p«^r conséquent . Q et R peuvent conserver des valeurs finies. Gardons-nous cependant de conclure que R n'est pas nul; car si, en traitant y comme une fonction de Jc , on difierentie l'équation (18) par rapport à cette variable indépendante x, on trouve , V « d»^ d'jr /^ dR\ dQ d/ ,^.

Les quantités , , et -^ étant nulles , et leurs coefficients * dxdc dx

ne pouvant devenir infinis d'après la remarque faite au

sujet de l'équation (18), il en résulte que l'équation (20)

d^r se réduit à R -^ — ~— = o, et, par conséquent, donne R = o,

d'xdtr ^ ^

lorsque , ■ , n est pas nul. ai, au contraire, -i- — r était

nul, on prouverait de même qu'on aurait R-^ — t- = o^

et que ■' ■ devrait être nul pour que R ne le fût pas. En

continuant ce même raisonnement, on tombe. à la fin sur

un coefficient différentiel ^^ . qui ne sera pas nul , parce

qu'il a été démontré que les équations (3) ne pouvaient avoir lieu jusqu'à l'infini. Il résulte de celle démonstration que R, qui conserve toujours la même valeur, étant nul

(*) Observons que ce que nous représcn ions d'une manière ahré{jée par

- — d Jc et par -~ ax , revient a d X da*

53o WOTE XV.

dans un cas, Test pour tous. Maïs puisque R est nul , Téquation (14)9 niise sous cette forme,

se réduit à ■

D'un autre côté, lainême équation (21) nous donnant

♦,, p + Qt^

on voit que , dans notre hypothèse d'une solution particulière, l'équation (22) et la valeur de R qui est nulle, ré-

d' V o duisent celle de ~- à —

djc' o . - . ..

Il résulte de cette théorie qûe^ dans le cas où une solution particulière peut exister, on a l'équation -r- = o (*) ,

et que cette équation entraîne la nécessité que la valeur de

•7-^ se réduise à — Les deux termes de cette fraction , c'est-

à-dire le numérateur et le dénominateur de celle qui est la

valeur de -j-^,? égalés à zéro, nous fourniront deux équa-

tions qui, si elles s'accordent avec U = o, donneront la solution particulière.

Prenons pour exemple l'équation

C* ) Nous avons vu que l'équation U = o n*é tait autre chose que la proposée, considérée comme résultat de Télimination de cj quant à ceUe-ci

-.•— = 0 , elle nous dit seulement que les termes qui , dans cette proposée ,

proviennent de la variation de la constante arbitraire, sont nuls.

SOLUTIONS PAUTICULlÈllES. 53 I

élevant au carré et réduisant, nous ferons disparaître le radical, et nous aurons

dr dr' , .

différentions en regardant A.X comme constant^ on obtient

àx* (x^ — c') d^' — xy dx '

égalant les deux termes de cette fraction à zéro, et divisant par dj:r, nous aurons

(24) *"^^ji = ^' (^'~c»)j^ — •^r = o;

éliminant j- entre ces équations, et supprimant ensuite le

facteur commun , on trouvera

et comme cette équation satisfait à la proposée /on voit qu'elle est une intégrale particulière.

Cherchons encore à reconnaître si l'équation

dr'

sj

comporte une solution singulière. Pour cet effet, nous ferons d'abord disparaître le radical, en élevant les deux membres au carré, et réduisant, nous trouverons

d y y^ — ixy -= ^' = o j

et, en différentiant, il viendra

x^ .ry

532 woTE xy.

Cette équation se réduit à - quand x = o •, mais cette hypothèse ne satisfaisant pas à la proposée, ne peut nous conduire à une solution particulière.

Conformément à Tobservation qui nous a été fournie par les équations (177)) page 335, il ne faudra pas se borner à l'hypothèse dej^ fonction de x \ mais en supposant ensuite x fonction de j^, on cherchera les solutions particulières qui peuvent être données en égalant à zéro la valeur

de -; —

Une solution particulière opérant la destruction mutuelle des termes de Féquation différentielle à laquelle elle appartient, n'en est qu'un facteur qu^on peut mettre en évidence à Taide d'une transformation. Nous avons vu, par exemple, que .r*-|-j^* — a* = o était la solution particulière de l'équation

(25) {x^x -h jdj)- = dj' (a-* -f- j-^ — a-)\

si nous faisons x* -hj^ — a* = 2' , nous aurons

xâx^ jdy = sds;

substituant ces valeurs dans Féquation (aS), elle deviendra

z-(dz'— d/')= o;

ce qui montre qu'effectivement la solution particulière représentée par z^. est un facteur commun de la proposée.

Une autre propriété des solutions particulières est de faire devenir infini le facteur qui rend la proposée une differenlielle exacte. Pour le démontrer, nous mettrons l'intégrale complète sous cette forme u = constante-. Une valeur qui satisferait à cette équation devrait donc donner d£i = o, parce que la différentielle d'une constante est nulle. Réciproquement toute valeur qui ne satisfait pas à u = constante ne peut donner dw = o 5 or ce dernier cas est précisément

SOLUTIONS PARTiCVLIERES. 533

celui d'une solution particulière qui , parce qu'elle ne satisfait pas à Tintégrale complète , ne saurait opérer la destruction mutuelle des termes dont se compose sa différentielle immédiate^ or cette différentielle immédiate n'est autre chose que X (Mda: H- Ndj^)» Il faut donc que la solution particulière ne puisse reîidre égal à zéro le second membre de cette équation :

ou, ce qui revient au même, de celle-ci : On tire de cette équation

dx

mais, par sa nature, la solution particulière, quoique ne satisfaAsant pas à Téquation X/M-|-N-p-j= o, satisfait

pourtant à celle-ci , M H- N t^ = o , c'est-à-dire en rend nul le premier membre. Cela réduit donc Téquation (26) à

do:

Par exemple, l'équation

(2'^) xàjc -^fdy = df yx^ -hy^ — à'

{*) Nous déBÎgnons ainsi la difTérenliellc totale de u prise en regardant or comme variable indépendante , pour ne pas confondre —~ — - avec le cooflli-

cient différentiel -3—) qui suppose que toutes Içs autres variables, hors i ,.

sont regardées comme constuntos dajis ce k'rme.