X-t-YM — ZN=:o, X -+-Y'M — Z'N = o

on tirera de ces équations

„ ZX' — XZ' ^, X'Y— Y'X Z'Y — zr' Z'Y — ZY' '

substituant ces valeurs de M et de N dans Féquation (i), on obtiendra

Il zx^— XZ^ d g VY-jrX — ^ ! dx "^ Z' Y-- ZY' dj^ "^ Z' Y — ZY' "" ^ '

dz d 2 ^

les coefficients j~ ^^ j^ ^** déduisent des équations (4) 5 qui donnent

,^, dz dr dz dz dx N

dx dx d/ dx dj' M

mettant ces valeurs de — et de ^— dans Téquation (5), et faisant évanouir le dénominateur, on trouvera

(7) —(Z'Y — ZY')N-(ZX' — XZ')^-f-X'Y — rX = o.

Les quantités X, Y, Z, qui entrent dans cette équation, ne sont pas toujours connues, puisqu'elles ne doivent être données qu'en différentiant les équations U ==« et V = i. Cherchons donc à éliminer X , Y et Z de notre résultat. Pour cet effet, en regardante; comme une fonction de x et de/, nous tirerons des équations (a)

-y— = X -h Z -r— > -j— = X -H z j — r ax ux ax dx

da dz db .dz

ar d r " V d r '

536 NOTE xvir.

dl 1 1 d 2 , il z

ans ces expressions les valeurs de -7— et de t— î

données par les équations (6) , et tirant les valeurs de X, de Y, de X' et de Y', nous irouveroas

dx d.T

dû ZN ^,àb Z^^

substituant ces valeurs de X , de Y, de X' et de Y', dans réquation (7) 9 et réduisant , nous obtiendrons

à a d b dad^

■■■■ "^ — ■ ^^^ ■■■ Mi^l. ■ ■■ l

dx djr djr dx

Cette équation nous apprend que a est fonction de 6 ^ et en effet , si nous avons a = ¥b, en différentiant cette équation, nous trouverons

da = (fbdi? y d'où nous tirerons

da . db d a . d b

dx dx dy dj

éliminant <fhy nous trouverons Téquaiion (8).

NOTE XVII (page 418).

DEMONSTRATION QUI TEND A PROUVER QUE LA DIFFÉRENCE DE DEUX QUANTITÉS ÉLEVÉES CHACUNE A UNE PUISSANCE D'UN NOMBRE ENTIER EST DIVISIBLE EXACTEMENT PAR LA DIFFÉRENCE DE CES QUANTITÉS NOll ÉLEVÉES A CETTE PUISSANCE.

. Voici de quelle manière, dans mes remarques sur l'Algèbre , j'ai démontré que u"" — i^'" était divisible exactement par u — j^; on trouve par la division

V*"— I ym-i j