PROPR. PE LA DIFF. BE DEUX MÊMES PUISSANCES

les termes extrêmes de cette équalîoîi^tant dcf même forme, on doit avoir encore

substituant cette valeur à la place du dernier terme de Téquation précédente , on aura

Cette transformation pouvant se continuer indéfiniment, parce que la fraction qui termine le développement est toujours dé même forme, nous voyons que

et qu'en général, jen écrivant une suite dont le premier terme est j^"*, et les atttres les puissances immédiatement inférieures , oh peut s'arrêter à un terme quelconque , pourvu qu'on ajoute une fraction qui ait pour niimérateur ce terme diminué d'une unité, et j^ — i pour dénominateur, si l'on s'arrête donc sur j^ la fraction à ajouter sera

9 et par conséquent vaudra l'unité. On aura donc

alors

jm — ,

et en multipliant le premier membre de cette équation par —7 et le second par i^'"""*, qui a la même valeur, on obtiendra

jHI «,■"* #!"•

538 NOTE XVIil.

faîsani ^y = u, cette équation deviendra

NOTE XVm (page 487).

DÉVOIISTIUTIOII PAR LB CALCUL DES DIFFÉRENCES DE LA RÈGLE D*EULER, POUR RAMENER UN PROBL^MB DE MAXIMA OU DB MIRIMA RELATIFS , A UN PROBLÈME DB MAXIMA OU DB MINIMA ABSOLUS.

Lorsqu'un problème de maxima ou de mmîma relatifs a été réduit à ces conditions

(i) ^/Uda?=o, */Vda: = o,

et que dans Thypothèse où les variations se trouvant perpendiculaires à Taxe dés x\ les intégrales sont prises entre deux limites, on peut regarder les premiers membres de ces équations comme provenant de ces deux fonctions aux différences finies,

(2) AIUAjp, ASVAj;,

qui, dans le cas 4e la limite, se réduisent aux premiers membres des équations (i), en changeante en d , et Z en /. Si, en vertu du théorème démontré dans la note de Tart. 597 (page 446) 9 on transpose les signes, les expressions comprises sous le n^ 1 deviendront

(3) 2(AUA.r), l(^\^x); faisons, pour simplifier,

AU = tf et AV = p,

les fonctions (3) deviendront

(?t en regardant ixûo: comme un rectangle dont u serait la hauteur et Ax la base, l'expression ^uAx représentera {Jig. 127) la suite de rectangles, mp'ym'p"^ m"p"'.

MAXIMA ET MiniMA RELATIFS. 539

m!" p^""^ elG. \ de sorte que , si nous faisons

pp' = à^x^p'p" ^ b.x^^p^p"' =r Ax,, />'V*' = A. ^3 -+-... , pm = u , />W = iii , p"m" =r a, , p'^m'" = «5 -+-...,

nous aurons

( 4 ) 2 tt A X = « A j: 4- tti A j:, 4- Mj A Xj 4- «3 A .rj -f- . . . .

Tautre intégrale représentée par la somme des rectangles np'yfi^p'^ n"p'"^ n^"p^''^ nous donnera pareillement

(5) Sl'Axrzrl'Ax-f-t'iAx, 4- fa AXj.4- «'aAXj 4- . . .^,

Cela posé , si Ton nomme

A M la différence Ui — * fi,

Ak, la différence «, — w,,

A «5 la différence a;, — Wj,

hv la différence t», — p,

Ap,' la différence t', — Ci ,

A f, la différence v^ — «^^ ,

on trouvera

^£, = M 4- Att ,

«j= ££, 4- Ai^i :rz « 4- Att 4- A (a 4^ A««) = « 4- 2 A/i 4- A'w, 1/3 = «j 4- A «a = w 4- 3 A w 4- 3 A* i« 4- A' a ,

iT

ni substituant ces valeurs dans les équations (3) et (4)5 on

54o .DiOTE XVIII.

obtiendra

lti^x=si uàx -hj(« -h Aa) Aj?, -f- (a -4- 2 Aw -^ A^a) Aor, -t- («-h 3Aa -+- 3 A* a H- à'm ) AX5 -H. . . ,

lpAx=c»Ax-h(<' + A(') Ax, -f- (c 4- a Ap-H A'o) Ax, 4- («'-t- 3 Ac -H BAVi* 4- A»«^)ÀX3 4-. . .;

rassemblant les termes analogues, on trouvera

2aAjr = (A4; 4- A a:, 4- A .r, 4-...)«

(5) { 4- (Ax, 4- 2 AXj 4- 3 Ax, 4-. ,.) A II