DIFFÉRENTIAT. DE3 ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES

aura encore

A (j:-f- /*)'-+- B(j:-hA)*-i-C(x-+- A) -hD = o, -

c'est-à-dire que si l'on a fx-=-o^ quel que soit a:, on aura encorey(x H- A) = o; retranchant de cette équation celle-ci

fx =iOy il restera f(x 4- /* ) — fc = o ;

donc aussi

f[x-^h)^fx ^^

Or,

d'où l'on tire

f[x^h)^fx .^^.^

le premier membre de cette équation étant nul , on a donc

A-H-BA-f- ..= 0; et, passant à la limite, — j — =A=:o,

ci X

et, par conséquent, d ,fx = Adr = o, ou, en restituant y^

d.F(ar, jr) =.Ad.r = o.

Ceci nous apprend qu'en regardant y comme une fonction de X, si l'on différentie Téquation F (x,y) = o, on pourra égaler le résultat à zéro 5 ce qui servira à déterminer

. dr la valeur du coefficient différentiel -r- 1 comme nous allons

do:

le voir dans l'exemple suivant.

Soit donc

(40 F(^» r) ~ ^'-1- 3fl7 —/'= o;

différentiant par les procédés ordinaires, et observant que, par la démonstration précédente , on doit égaler ce résultat à zéro , on a

(4^) 2.rd.r -f- 3fldx — 2jd/ = Oj

42 CALCUL DlfFÉRElITIEL.

de cette équation on lire

t>4. Si l'on compare le procédé qui nous a fait obtenir

cette valeur avec celui que nous avons employé jusqu'à

présent, on verra qu'en opérant d'après celte première

méthode, il aurait fallu d'abord mettre l'équation (4i)

sous la forme y =-fx^ et , par conséquent , la résoudre par

rapport à j^, pour en déduire ensuite par la differentiatîon

dr la valeur de -r^- En suivant celte marche, nous trouverions

d'abord

et ensuite, par la différentiation ,

dj . .r

ci X

dr ,

Cette valeur de -^ se présente sous une forme différente de

Cl •fC

celle qui nous est offerte par l'équation (43) *, mais en mettant dans l'équalion (43) la valeur de j^ cett(3 équation deviendra

tl r , 2 .r , X

\/| «'+-■■ sj-c

comme nous venons de le Irouver. L'équation (4^) est la différentielle première de l'équation (4i)'

Pour obtenir l'équation qui donne le coefficient différentiel du second ordre, c'est-à-dire -; — ■ i en divisant l'équa-

ci x' ^

tion (42) par Ax\ et en faisant -r— =/?, celle écjualion de-