DIFFÉRENTIAT. DES ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES
viendra
2 x -4- 3 «// — lyp ■=. o ;
regardant j^ ec p comme des fonctions de x, nous aurons, en diâerentiant ,
2 d j:-i- "^aàp — 2/d/^ — ipà. / = o;
divisant par dj: et mettant;; à la place de -r^» îï viendra
- dp do
àx d* '^
d'où nous tirerons
d iT 3rt — ly
r\ ' dr dp dV
ur, puisque ^ == ^— , nous aurons j^ = -r-,; mettant ces
valeurs dans l'équation (44)5 ^^ faisant évanouir les dénominateurs , nous obtiendrons
(45) d'^(3rt — 2j)=:2dj' — 2dx^;
telle sera la diiîérentielle seconde de 1 équation (4')'
Pour avoir la différentielle troisième , on fera -p- = q^ el
Téquation (44) deviendra, après avoir fait évanouir le dénominateur,
Z aq — 2/y =:2.p^ — 2 ;
on différentiera en regardant y^p^q comme des fonctions de x, et l'on trouvera la différentielle troisième, ainsi de suite.
65. Au lieu d'employer les lettres p^ q^ r, etc., pour effectuer les opérations, on parviendrait au même résultat en différentiant l'équation (4^) et en mettant dj^ pour la différentielle de ^5 A^y pour celle de dy, à?y pour celle de d*r, etc.*, el en regardant à.x comme constant, on trouve-
rait de celle manière
OquatioD qui est la même que rëquation (4^)>
66. Domions maintenant l'expression générale de la différentielle d'une fonction /(Xjj^) de deux variables. Pour cela, représentons y (j:, y) par zi; nous aurons, en Hiffé-
rentiant cette fonction par rapport à x, le terme j- d jc, et
en la différeutiant par rapport à y, nous aurons ce second
d tf 1 terme -=— ajr ; en sorte que
d./(-^, r> ou dtt = T-d.r -h^— . d/;
ax ajr
mais si ^, est considéré comme une fonction de Xy nous aurons , en la différeutiant,
âjr = -^dx; ax
substituant cette valeur, nous trouverons
, du . du djr .
du =z •-— d.r -f- r— dx.
" . ax dj^ dx
67. Si Ton se rappelle le théorème démontré art. 26, on verra que u étant considéré comme une fonction de -^^
et y comme une fonction de x^ le produit -, r— àx n'est
*^ ' ^ d^ do:
autre chose que la différentielle de u prise par rapport à^ x
renfermé dansj^.
