DIFFÉRENT! AT. DES ÉQUATIONS À DEUX VARIABLES
De même, si u est une fonction de trois variables x^y^ z, indépendantes, nous aurons
, du . du . du .
(iu = - — dx 4- -- d r H — r— ci z , aar dy " dz
, d/i j du ^ du ^ , j.^.
et les termes -7— djr, -7— dr, -r- dz seront les ditléren-
dx ay *^ dz
lielles partielles de m. -
69. Passons à une fonction de trois variables Xy j, z, parmi lesquelles on en choisit deux pour variables indépendantes. Un exemple de ce cas se présente lorsque dans Féquation f[x^ j, z) =^0 d'une surlace courbe, on détermine la variable z en donnant des valeurs arbitraires aux deux autres variables, qui par cela même deviennent des variables indépendantes Dans cette circonstance , z dépendant de a: et de j, est une fonction implicite de ces variables; il faut avoir égard à cela dans la différentiation. Ainsi, en représentant par u cette fonction de trois variables, j:, t" et z, si l'on veut en avoir la différentielle par rapport à .r, cette différencia tielle ne se composera pas seulement de -r— d.r, mais il faudra y
Cl X
1 du dz ,
ajouter le terme -r— • -r— dXy pour marquer qu on regarde z
comme dépendant de x. La différentielle totale par rapport à x sera donc exprimée par
(4^) di^"" -^ d-z ' Tx^
La différentielle totale par rapport à y .aura de même pour expression
du du dz
Si Ton ajoute la différentielle prise par rapport à la variable indépendante j: , à la différentielle prise par rapport à l'autre variable indépendante /, on trouvera pour la différentielle totale
//o. au ^ du ^ du f dz . dz,
/^G CALCUL difféheatiel.
et comme la quantité renfermée entre le% parenthèses n^est autre chose que là difTérentielle totale de z, ^expression que nous venons de trouver se réduira à
d^ , d« , du
dx ajr dz
Si cette différentielle totale était égale à zéro , il en serait de même de l'expression (48), qui, à cause de Tindépendance des variables :r et ^, se décomposerait en ces deux autres équations
du . du àz . du du dz
-r-dx-h-T — -d.r=:o, Tj—d/ -H j— -j— dr =;:0. [NoteW.)
dx dz dx dy dz d/
