CLOT
 regard de la tangente et de la normale, nous avons
MT = v^TP>4-PM%
MN = v/PN»-f-PM%
ou
73. Pour trouver l'équation de la tangente, soient x' et y les coordonnées du point de tangence M ^ l'équation de la droite MT, qui passe par le point M , pourra donc être représentée par
Dans cette équation , A étant la tangente trigonométrique
de l'angle MTP^ cette tangente trigonométrique aura pour
PM expression — ; car on a
PT : PM :: I : tangMTP = ^; donc
tang MTP = ^7=: = = 1 — = -r— j :
^ PT souS'tang, ,da: dx
substituant cette valeur de A dans l'équation de la tangente^ cette équation devient
dy
y — jr' = -r-f [jo — x'), équation de la tangente, dx
dx' Celle de la normale seradoncy — ,y'= — JZ^(^ — -^'l'
30 CALCUL DIFFÉREHTIEL.
APPLICATION DES FORMULES PRfiCÉDENTES A DES EXEMPLES.
74. 1°. Trousser la soiis-tangente de la parabole, L^équation de la parabole étant j^' z= px^ on en tirera , en la dîfTérentiant,
^r àjr =pdx,
et , par conséquent ,
dx iy
Or, x' ely' étant les coordonnées du point de tangence, il faudra donc, pour avoir le coefficient différentiel qui correspond à ce point) accentuer x çx y\ ainsi nous aurons
substituant cette valeur dans celle de PT, nous obtiendrons
et, en mettant px' à la place de j^'*, cette équation deviendra
PT ou sous-tangente = 2 a:' .
2°. Trouy^er la sons^novmale de V ellipse. L'équation 6* j:*-h a^ y^=^ a' i' de Tellipse rapportée au centre étant différentiée , donne
2 6' j: d j: -f- 2 «' j d/ = o , d'où l'on tire
mettant cette valeur dans celle de la sous-normale PN, 011 obtient
PN ou sous- normale tm x*.
ASYMPTOTES DSS COURBES. 5l
3'*. Trouver Vexpression de la tangente au cercle. L'équation x'-+-7'=r*5 qui est celle du cercle, étant diflerentiée, on trouve pour le point de tangence x\ y\
dy a/
An moyen de cette valeur, on réduira l'expression de MT à
Des asymptotes des courbes.
7t(. D'après les Traités d'application d'Algèbre à la Géométrie , on sait que les asymptotes sont des lignes qui s'approchent continuellement d'une courbe sans l'atteindre. Soit donc y =fx réquatîon decette courbe; pour qu*ellesoit susceptible d'avoir des asymptotes , il faut qu'après avoir ordonné le développement de^ suivant les puissances descendantes de :r , on tombe sur des exposants négatifs. Alors le développement de^, dans lequel les exposants a , p , 7 , etc. , iront en diminuant et finiront par devenir négatifs, sera de cette forme
(49) y = A.r« 4- Bo:^ -f- Cx>' . . . 4- La-* -+. - + ~ -f- . . . .
Or il est facile de démontrer que si les exposants a, $, 7, etc., restent des quantités finies, l'équation
(5o) j=Ajc"-hBxf-f.Cary... H-Lo:^
sera celle d'une asymptote à la courbe construite à l'aide de l'équation (48). Pour cet effet, soient PM et PN {Jîg, 6) les ordonnées correspondantes à une même abscisse déterminée par les équations (49) et (5o), la différence de cesordonnées, positive où négative, selon celle qui surpassera l'autre, sera exprimée par
M N MN = —, H h
quantité qui diminuera à mesure que x augmentera, et qui, parla
Sa CALCUL DIFFÉRENTIEL.
raison que plus le dénomin&teur d'une fraction s'accroît , plus elle diminue, s'approchera indéfiniment de zéro, sans jamais y atteindre; d*oiiiIsuit que Téquation (5o) sera celle d*une asymptote à la courbe correspondante à l'équation (49}<
76. Cherchons, par exemple , dans quel cas les courbes du second ordre sont susceptibles d'avoir des asymptotes. L'équation générale de ces courbes est/'= mx + /i.r'; en la résolvant on trouve
(5i) yzzi^^mx'^'nx^.
Prenons d'abord le signe supérieur et développons cette équation selon les puissances descendantes de x. Pour parvenir à ce but, nous diviserons l'équation y^ = mx-\-nx^ par a:', ce qui la réduira à
tirant la racine carrée et faisant - = u et -=r z, nous la mettrons
sous cette forme
M = ^n -H mz\
comparant ce radical à celui de l'équation (i8}, ( page 22), nous aurons
mzz=bxy a^=.n^ ou a = ^n;
substituant ces valeurs dans l'équation (18), nous obtiendrons
mz rn^z^ m^ z^
2/1' 8/1=* 16 n' remettant les valeurs de u et de z, et tirant celle dej^, on trouve
y — xsln-\ .3 H ^ — . . . .
^V'* 8x/i" i&x^fr
Dans ce développement , on voit que x passe au dénominateur dès le second terme, ce qui est un indice que la courbe est susceptible d'avoir des asymptotes. Examinons ■ donc dans quel cas elle en comporte. Pour cela, nous remarquerons que quand n est
