ASYMPTOTES DES COURBES

négatif, ce développement renferme des quantités imaginaires, et par conséquent devient impossible ; mais on sait que quand n est négatif, la courbe appartient à une ellipse ( Théorie des Courbes du second ordre, page i53). D'où il suit que Tellipse n'a point d'asymptotes; il en est de même lorsqu'on a /s = o, car dans ce cas le premier terme du développement s^évanouit , et tous les lautres deviennent infinis. Ce cas étant celui de la parabole , nous conclurons encore que la parabole n'a point d'asymptotes. Enfin , il nous reste à considérer le cas de n positif, qui est celui de l'hyperbole; alors le développement étant possible , nous prendrons les termes qui ne renferment point de or au dénominateur, et nous aurons

(5^2) jr = xs/n-h

Cette équation pourra être regardée comme celle d'une asymptote à l'hyperbole à laquelle se rapporte alors Téquation

y^= mas -h nx'.

Pour donner à cette équation une forme plus convenable à ce cas, faisons^ = o , nous trouverons mx + nx* = o ; ce qui nous donnera X =zo et xzzz pour les abscisses des points A et B

i^S' 7 ) , où la courbe rencontre l'axe des x. La droite aB est une constante que l'on désigne par 2 a dans l'équation de Thyperbole rapportée au sommet B ( Théorie des Courbes du second ordre ^

page 142). Faisant donc — = 2 a , c'est-à-dire /71 = 2 /sa , l'équation y^ = mx •+• nx^ se changera eïxy*= n (2 ao: -+- x') ; et sous cette forme on reconnaît encore dans la constante n celle que, par analogie avec Téquation de l'ellipse, on est convenu de représenter

b^ par — • Posant donc les équations

— z=. 'xa et w = — -?

si Ton multiplie terme à terme la première par la racine carrée de

la seconde, c'est-à-dire par y/t = -9 on trouvera

Cette valeur et celle de ^ étant substituées dans Téquation (52}

la changeront en

et Ton voit que cette équation sera celle d'une droite OK. {J^g* 7 ), qui coupera Taxe des / en un point C, et que pour en fixer la position, il suffira de mener par le centre O de l'hyperbole et par Vorigine A les droites OA = a et AC = ^.

A l'égard de la seconde valeur du radical de l'équation (5i), il est évident qu'elle détermine l'asymptote OK'.

jPc* r équation du plan tangent à une surface cakurb^e^ 9t de celle

de la normale à cette surface.

77. Soient y (ar,jr» «) = o l'équation d'une surface courbe, et A JT -+- B^ -<- C« -H D = o, celle d'un plan. Si le point de tangencc M a pour coordonnées a?', /, z^ ces coordonnées devront satisfaire à l'équation du plan [voyez ma Théorie des Courbes du second ordre ^ page 275), et l'on aura, par conséquent,

kx* -+- By -f- C«' -h D = o.

Élicninant D entre cette équation et la précédente, on trouvera^ pour l'équation du plan assujetti à passer par le point sd ^ y* ^ zf^

Menons, par le point de tangence x', f ^ z\ un plan parallèle à celui des :r, z, il coupera la surface suivant une courbe MC (y^. 8), et le plan tangent suivant une droite ML; cette droite ML devra être tangente à la courbe IVIC, autrement )e plan tangent couperait la surface courbe.

L'équation de la droite ML peut se déduire de l'équation (53); car cette droite ML étant l'intersection du plan tangent par un plan parallèle au plan des x, z, a dans tous ses points des valeurs

ÉQUATION DU PLAN TAKGBIiT. 55

égales pour y ; et comme le point M est sur cette droite , on a donc J* =^, ou j^ — j' = o. Ce qui réduit l'équation (53) à

Cette équation exprimera donc la relation qui existe entre les coordonnées z el x d'un point quelconque pris sur la droite ML, et par ooD^équent sera Téquation de celle droite. On pourra récrire ainsi :

D'une autre part, Téquation de la courbe MC s'obtiendra de même en regardant j comme constant , dans Téquation de la surface courbe /*(z, j, .r) = o.

Si Ton veut exprimer maintenant la condition que la droite

ML soit tangente à la courbe MG, il faut donc (art. 75) que le

coefficient de (a? — or' ) de l'équation (54) soit égal à la valeur de

àif . ,^ T — 7 tirée de l'équation de la courbe MC.

Or, réquation de cette courbe étant celle de la surface dans laquelle on ferait y constant, il suffit de différentier l'équation de

cette surface , et d'en tirer -=— \ car, d'après l'art. 54 , la notation

-\ — suppose qu'on a regardé y comme constant dans la différen-

tiatiou.

Il suit de là qu'en accentuant % et Xy «prés avoir opéré, on a , pour la condition que ML soit tangente à MC,

Si l'on mène ensuite , par le point M , un plan parallèle ^ plaa des s, y y ce plan coupera la surface suivant une courbe MD, et le plan tangent suivant une droite MN.

On démontrerait, comme précédemment, que cette droite M N doit être tangente à la courbe d'intersection MO, et que, pour tous les points de cette droite MN, les abscisses étant égales, on

56 cihCVh DIFFÉRENTIEL.

doit avoir j: — j/ = o , ce qui réduit l'équatioii (53 ) à

B(r-/)-4-C(z-z')=o, d'o^l'on tirera

Cette équation étant celle de la droite MN , on exprimera la condition que cette droite est tangente à la courbe MD , en égalant le

coefficient de x — y au coefficient différentiel -t"-; tiré de Téquation de la surface, et l'on aura

B àz'

C~àx''

et y par conséquent y

Si l'on substitue dans Téquation (53), les valeurs de A et de B données par les équations (55) et (56) , on trouvera

-C^(— ')-C^(r-/) + C(.-.')=o, d'où Ton tire, pour l'équation du plan tangent au point a:', y, »',

78. Cherchons, par exemple, l'équation d'un plan tangent à la sphère. Les coordonnées du centre étant a, 6, c, la sphère aura pour équation

{x - ay-h(y -r ô)»4- (z - c)' = r^

00 trouve , en différentiant ,

(x — fl)djc-h(r— ^)d/ -h(« — c)d« = o,

^'où Ton déduit, d'après laiiotation convenue (art. 54) ,

dz a — X dz b — jr

dx z — c df z — c