Cela posé, considérons trois cas
Si m=iny et que le nombre r de différentiations effectuées soit égal à /w, les binômes [x — «)'"—'' et [x — a)""*" se réduisent chacun à (j?-^a)% c'est-àr>dire à Tunité; à l'égard des autres binômes [x — fl)", [x — aY^\eU:.y [x — «)", [x — a)"-', etc., ils sont nuls dans l'hypothèse de xz=za'y ainsi, tous les ternies ^ hors le dernier du numérateur et le dernier du dénominateur, s'évanouis-
6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
sent, et Téquation (6i) devient
d^.Fj:
daf* /ii(//i — i) (w — .2). . . P ___ P Fo: d'^.tfx n{n — i) (/« — 2). . . Q Q fx
da:^
Dans le second cas, qui est celui où Ton a /7t]^/i , si le nombre r de difTérentiations effectuées est égal à », le binôme (x — a)"-*" se réduit à* l'unité, parce que son exposant n — r est nul. Les exposants n — 1, n — 2, etc., m — i, m — 2, etc., des autres binômes, étant plus grands qae n — r, sont positifs; par conséquent, ces binômes se réduisent chacun à zéro lorsqu'on fait xz=a; tous les termes s'évanouissent donc, dans cette hypothèse, hors celui où entre (x — «)"'"'', et l'équation (61) se réduit à
dx" o o
d'',<fx /î(/2 — 1).. . Q(ar H- «)"-'■ n(n — i).,.Q dx"
Celte valeur est donc un indice qu'on a m'^n^ .cas où l'équation (60) se réduit à zéro. Enfin , si Ton a m<^ny le nombre r de différentiations exécutées, étant pris égal à m, tous les termes s'évanouissent , hors le terme m [m — i). . • P (ar — a)*, et il reste
dx'^ m(m — 1). . . P
d*" . (par o
dx"
cette valeur annonce donc que n surpasse m, cas où le second membre de Féquation (60) est infini.
85. De ce qui précède, résulte cette règle : Lorsqu'on veut dc-
terminer la vraie valeur d'une fraction — 5 qui devient — par une
valeur donnée à la variable, on différentiera séparément les deux
termes de cette fraction , et ensuite on examinera si les résultats
d.F j: d.çj: , , . . , , , , , , .
— ; et --- — se réduisent aussi a zéro, par la valeur liypotnc-
DE LA FRACTION -• Ol
tique de la variable; si cela est y on prendra les coefficients dif-
d.Fx d.ojr
férentiels des expressions — = et , y et Von verra si y dans
cl wT dx
la même hypothèse de la variable^ ces coefficients différentiels se
réduisent chacun à zéro; en continuant ainsi cette vérification ^ si
l'on trouve y après un certain nombre de différentiations ^ que les
deux termes de la fraction ne s'évanouissent point par la valeur
donnée à la variable ^ cette dernière fraction sera la vraie valeur
Fx
de — ; mais, si le numérateur seulement devient o par la valeur
ffX
Fx ^
de X, l'expression — sera nulle; enfin y si ce rCest que le déno-
cp X
Fx
minateur qui s'évanouisse par la valeur de x , l'expression —
ff X
sera infinie,
