Si Ton appliquait la même règle à la fraction

qui devient -» dans l'hypothèse de j: = o, on trouverait, en

diiïérentiant les deux termes de cette fraction ,

a'ioga — ^*log^

expression dont le numérateur ne devient pas nul lorsque j: = o , et qui , par conséquent, donne log a — log b pour la valeur que prend la fraction proposée lorsque j? = o.

Il est bien évident que le facteur commun aux deux termes de la fraction proposée est ar — o , c'est*à-dire x ; mais comment reconnaître ce facteur dans a' — b'} Pour y parvenir, nous remarquerons que , d'après l'art. 39 ,

^ X A'j?^ fl' = I -+- A - H 1- . . . ,

donc, en prenant la différence,

fl' — é' — ( A — B) j: 4- ^ ' j:» -4- . . . ,

et l'on voit que x est facteur commun de a* — b*,

87. Il ne faut pas cependant croire que la règle que nous venons de donner suffise pour tous les cas : la démonstration précédente est fondée sur ce que les exposants m et n sont des nombres entiers;

DE LA FIIA.CÏION -• 63

mais s'ils étaient fractionnaires, on ne pourrait obtenir, par des diflférentiations successives , tin terme où a? — a se trouvât élevé à la puissance de o ; par conséquent , on ne pourrait , par le procédé que nous avons employé, dégager la fraction du facteur commun. Soit donc, pour plus de généralité, l'expression

dans laquelle a. S, 7, etc., sont positifs et croissants, ainsi que

^\ ^\ l'y ^te* €ette expression se réduisant à — lorsque x 2:= a,

nous pourrons, au lieu de changer j? en a , changer x ena-\- h, en nous réservant de faire A = o , après avoir réduit ; alors Thypothèse sera la même que si nous eussions fait immédiatement j: =: a , et nous aurons

£n considérant a et a', qui sont les plus petits exposants dans chacune de ces suites, il peut arriver trois cas :

1°. a>a'; 2°. a = a' j 3*». a<^CK.',

Dans le premier cas , en divisant par h^' les deux termes de la fraction (62), on a

par hypothèse , a surpasse a! , par conséquent le nombre a — a! sera positif; à plus forte raison 6 — a', 7 — a', etc., le sont aussi, puisque a, 6 , 7, etc., vont en augmentant ; 6' — a', 7' — a', etc. , seront aussi des quantités positives , par la raison que les expressions a', 6', 7', etc. , allant en croissant, a' est moindre que 6', que 7', etc. Cela posé, si Ton fait A = o, tous les termes du second membre de ré({uation (63) s'évanouissent, hors P'; donc cette équation se réduit alors à

Dans le second cas, où a = a', le terme PA" "~ ** se réduit à 1? h^ = P-y donc^ d'après Tinspection d^ l'équation (63 ), on voit

Fx , . P

que, lorsque x:=. a^ — se réduit à =?;•

cp J? P

Enfin, dans le troisième cas, où Ton a a<[a% en divisant par h^ , on écrira ainsi Téquation (62) :

?«■" P' A« -« 4- Q' A^ "" " + Khy- « 4- . . • ' et Ton voit que l'hypothèse de A =r o réduit cette équation à

Fx P __