Prenons pour exemple la fraction

qui , lorsque jp ==a, se réduit À — Si dans cette fraction on met

<7 + A à la place de x , elle devient

(3fl»AH-3fl/i' + A')' (3fl'4-3flA + A>)^A^

(3«' + 3tfA-+-/i»)* (3fl'4-3ûA4-A')' -^ faisant A = o , on obtient

Fj: o

89. Si une valeur de x rendait infinis les deux termes de la frac-

tion — 5 on diviserait ces deux termes par Fx X f^, et Ton

DES MAXIMA ET MliVIMA. 65

aurait

90. Enfin, si Ton avait un produit MN, dans lequel Thypothèse de ^ = o rendit l'un des facteurs nul et Vautre infini , soit M le facteur qui devient nul par la valeur de x qui rend N infini;. on écrirait ainsi ce produit :

et comme alors - serait o, l'expression — se réduirait à —

DES MAMHA ET HINIMA, DANS LES FONCTIOUS D'IJTIE SEULE VARIABLE.

91 . On peut, dans la série de Taylor, donner une valeur à raccroissement h telle, que Tun des termes de la série devienne plus grand que la somme de tous ceux qui le suivent. En effet, celte série étant représentée par

d r , d' r h^ d^ r /i' d.r dx* 2 d^-^ 2.3

d y si l'on veut que -p A, par exemple, devienne plus grand

que la somme de tous les autres termes, écrivons ainsi la partie de la série comprise depuis ce terme :

à} Y h d' r h- Or, quand on fait A = o , la partie -p- ^ — h j^ — ^ * *

s^anéantissant , on conçoit qu'elle peut être rendue aussi petite qu'on voudra, lorsqu'on prendra h très-près de zéro,

et être alors surpassée par — ? qui est indépendant de h.

66 CALCUL DIFFÉUEMTIEL.

Soit donc Z ce que devient dans ce cas -r— , — h ... ; la îrie (64) se réduit à ( -p -f- Z ) h : et comme alors on a

sen

r>^' ou '£n>i,z,

en multipliant par /i, il en résulte que le ternie -r- h est

plus grand que la somme de tous les suivants. On démontrerait la même chose pour tout autre terme à l'égard de ceux qui le suivent.

92. Soit j^= (fx une équation entre deux variables. On peut toujours considérer cette équation comme celle d'une courbe dont les différentes valeurs de la fonction j^ seraient les ordonnées*, on dit que cette fonction y est à son minimum, lorsque, après avoir diminué successivement, elle est sur -le point de recommencer à croître.

Soit, par exemple, la courbe MBN (fig* 9), qui a pour équation y = b-^cx*'^ on voit que les ordonnées mp^ m' p\ etc., vont en diminuant jusqu'au point B; mais que depuis ce point, les ordonnées qn^ 9''*'? etc., vont toujours en croissant : ainsi l'ordonnée AB est le minimum de la fonction y.

93. On dit de même qu'une fonction j est parvenue à son maximum, lorsque, après s'être accrue successivement, elle est arrivée au point passé lequel elle commence à décroître.

La courbe CDE {fig* 10), dont l'équation est j=é — ex*, nous présente un exemple de ce cas au point D, puisque les ordonnées qui suivent et qui précèdçnt immédiatement AD sont plus petites que AD : celte ordonnée AD est donc un maximum.