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6(S CALCIL DIFFÉRENTIEL.

OU

Ainsi , lorsque f{x + h) et /(jt — h) seront en même temps plus petits que fx^ il y aura un maximum, et si ces deux fonctions sont en même temps plus grandes que/r, il y aura un minimum -, enfin , si Tune de ces fonctions est plus grande et l'autre moindre que fx^ il n'y aura ni maximum ni minimum.

97. Cherchons donc dans quel cas ces conditions peuvent cire remplies : pour cet effet , nous avons , par le théorème de Taylor,

D'une autre part, si dans cette formule on change h en — //,

on trouve

.nn. ^. ,N djr , d'r h' d^r h'

Pour que y =fx soit un maximum ou un minimum,

il faut donc que ces deux développements soient tous deux

plus grands ou tous deux moindres que /•, or cela ne

. dr .

peut être, à moins que j— ne soit nul. En effet, si l'on

donne une valeur très-petite à //, on pourra toujours faire

dr en sorte que -~- h surpasse la somme algébrique de tous

les termes qui le suivent. Dans ce cas, le signe qui affectera -7^ h sera le même que celui de -r~ A, joint aux termes

d r qui le suivent : ainsi , dans cette hypothèse , si -p- h est

positif dans l'un des développements (65) et (66), ce développement sera plus grand que 7, et sera moindre que j^ si

-r^ h est négatif. Le siene qui affecte -r- h étant contraire

DES MAXIMA ET MIJNIMA. 6i)

dans ces développements, il faut que si -^ h est positif dans

Tun, il soit négatif dans Tautre; d'où il suit que l'une des quantités f(x-hh) et f(x — h) sera plus grande que fx, et que l'autre sera moindre que fx,

. d r , Si -p A n'est pas nul , il ne pourra donc y avoir de maxi-

. . d r mu m ni de minimum ; mais si j^ = o , alors les développe-

ments (65) et [66) se réduisent à

' dx* 2 d.r' 2.3

Dans ce cas, le signe des termes qui suivent dépendra

d'r dc-r-^î si l'on prend h assez petit pour que ce terme sur-

d'r passe la somme de tous ceux qui le suivent 5 et comme -r—

a le même isigne dans les deux développements, il en résul-

. d' r tera que si -r—^ est positif, les deux fonctions de (x-h- h) et

de [x — h) seront plus grandes que^it: *, dans ce csiS,fx sera

. d* r un minimum. De même, si -r— ^ est négatif, on voit queyi:

sera un maximum.