Pour compléter cette théorie, nous remarquerons

dr . d'r j

que, outre -p = o, on peut avoir encore -r— , = o 5 dans ce

cas, il ne peut y avoir maximum ou minimum que lorsque

j~ = o. Alors le signe des quantités qui suivent/ dépendra

d'r de -~, ((uand on prendra h très-petit ] et Ton prouvera que

CI JC

si -T— j est positif, fx est un minimum, et que si -r—- est

négatif, y^ est un maximum-, ainsi de suite.

En général, lorsque le premier coefficient qui ne s'évanouit pas est d'ordre pair, il y a un minimum s'il est positif, et un maximum s'il est négatif.

99. Pour premier exemple , prenons la fonction a — bx -\- x^'^ nous aurons donc

y z=. a — ^jr -f- Jf' ;

différeniiant et divisant par dr, nous obtiendrons

dr , d'r

Cette valeur positive de -r—^ nous apprend que la fonction

a un minimum. Pour déterminer Fabscisse qui correspond

d r à ce minimum , nous essaierons à zéro la valeur de t- ) ce

qui nous donnera a:= -; si Ton substitue cette valeur de x

dans celle de y, on trouvera y =: a — -j pour le minimum cherché.

100. Soit encore la fonction a* -|- i^jc — c*x^\ diÛërentiant Féquation j = a^ -\-h'^ x — c'.r', et divisant par àx ^ nous trouverons

ax dx^

d^r Par la valeur négative de -r— ^9 on voit qu'il y a uu maxi-

Cl X

mum dans la fonction^ Téquation i' — ac'j: = o nous donne x = - — pour l'abscisse qui correspond à ce maximum; et en substituant celte valeur de x dans celle de/,