PROBLÈME IV

106. On veut faire entrer dans un vase cylindrique une certaine quantité d'eau dont le volume est connu; on demande quelles dimensions il faut donner à ce vase pour que sa surface interne soit aussi petite qu'il est possible.

Soient Y le volume d'eau donné , et j: le rayon de la base du cylindre; ttj:' sera l'aire de la base du cylindre. Et puisque la hauteur de ce cylindre, multipliée par sa base, est égale à son volume , on aura

hauteur du cylindre X «f ^ = V,

d'où Ton tirera

hauteur du cylindre = •

En multipliant cette hauteur par la circonférence de la base qui est iTtx^ on aura

X 2 ÎT.'? =

TT x^ .r

pour la surface convexe du cylindre. Si à cette surface on ajoute Tra:', qui est celle de la base du cylindre , l'équation à différentier sera

aV

et l'on en déduira

dj 2V d'j 4y

àx x^ ' d .r^ x:'^

y6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

La valeur de V^ étant égalée à zéro, donne

On voit que cette valeur répond à un minimum, puis-

d'r qu'elle rend positive celle de -r-^ : le rayon de la base du

cylindre cherché sera donc lY — Si Ton met cette valeur

dans l'expression de la hauteur, on trouvera, pour la hauteur du cylindre,