PROBLÈME VI

\i% Un point C(û^, 17) étant donné dans T angle Y AU, mener par ce point une droite DE, (fui rencontre les axes AX, A Y, de telle manière, que la longueur DE , de cette droite, soit un minimum.

Soient AI = a , IC = ft, lE = x-, les triangles rectangles ICE , ADE , nous donnent

iE:ic :: ae : ad,

AD = -(fl-|-x);

ou donc

par conséquent

D'une autre part,

AE»==:{a4-^)';

substituant ces valeurs dans la formule

DE = v^AD* -H AES

nous trouverons

DE==y/^(û4-^)'^-(«^-.r)'=y/^^^>I^(«^-^)';

et, en réduisant au même dénominateur le premier facteur qui est sous le radical ,

DE = i/ ; — {a-\-.TY= )/b^-hJc^=j^.

En regardant cette expression comme le produit du facteur

5 par le facteur V&*-l-x', nous différentierons par

l'art. 14, et nous trouverons

ÀPPLICAT. DE LÀ THÉORIE DES MÀXIMA ET MINIMÀ. 8f

eiFectuant les différen lia lions, nous aurons

, a -H X ^^^ /-- adx

réduisant au même dénominateur, en multipliant les deux termes de la première fraction par x , et les deux termes de la seconde par ^i' -h x*, nous obtiendrons

dr = r" /, H /, X — «dx ;

réunissant et réduisant les termes du numérateur, et divi« sant par dx^ il nous viendra enfin

égalant le numérateur à zéro , nous trouverons

X = ^ab'' .

Pour prouver que cette valeur répond à un minimum dans cette hypothèse, nous mettrons seulement (art. 109) «à la place du numérateur, qui est le facteur nul , son coefficient différentiel , et nous aurons ainsi

valeur essentiellement positive. On ne fait pas la substitution de la valeur de x, car on voit qu'un carré x' est toujours positif.