SIGNIFIGATIOM DES COEFFICIENTS DIFFÉRENTIELS

Dans le cas où la courbe [fig* 23) tourne sa cQncavité vers l'axe des abscisses, pour avoir M'' S il faudra, au contraire , retrancher de la valeur de SN celle de M'' N , ce qui donnera

En comparant ces deux valeurs (68) cl (69) de RFS, on

d'r voit que, dans Tune, -;— est précédé du signe 4-, et, dans

l'autre, du signe — .

Cela posé, ou peut faire en sorte que le signe du premier

terme du développement de M'' S décide de celui de tout ce

développement^ et comme le carré A*, qui est essentiel-

d' r lement positif, ne peut influer sur le signe de-p^A*, le

coefficient différentiel ~- décidera seul du signe de la

somme de tous les termes de la valeur de M" S.

En ne considérant donc les équations (68) et (69) que

relativement aux signes qui affectent chaque membre, on

pourra supprimer hr et les termes qui suivent —^^ et ceà

équations deviendront

d*où nous tirerons

à.rJ

Si l'on regarde j^ comme une quantité positive, IVFS {fis- ^^) » tombant du même côté que y^ sera positif 5 la première des équations (70) nous apprend donc que, lorsque la courbe tourne [fig* 22) sa convexité vers l'axe des

d' y abscisses y j— ^ est positif.

86 CALCtJL DIFFÉAEMTIEL.

Si l'on; considère ensuite la seconde â^ équdtion^ (70) ei

la flg. aS qui s'y rapporte, on verra que — M'' S repr^ente

une droite qui est d'un signe contraire à celui dejr, et que,

d' r par conséquent, -i — ^ est négatif dans le cas de Isl fig. a3»

c'est-à-dire lorsque la courbe tourne sa concavité vers l'axe des abscisses.

116. La courbe jusqu'à présent a été supposée située au-dessus de l'axe des abscisses; examinons ce quHI arrive lorsqu'elle s'étend au «dessous, comme dans Xa Jig. a4< H est certain, par ce qui prét^ède, que puisque la courbe

tourne en M sa convexité vers l'axe des abscisses, ^ — -> et

par conséquent MN, est positif. Or les droites MN et M' N', qui sont situées du même côté de la tangente T'T, doivent avoir le même signe; et comme MN esi positif, M'N' doit Têtre aussi : d'où il suit qu'au point M', où la courbe tourne

sa concavité vers Taxe des abscisses , t— ; sera d'un signe

contraire à celui de l'ordonnée P' M', qui est négative; la

d'y courbe tournerait, au contraire, sa convexité, sîj^et-s — ^

étaient de même signe. De sorte qu'on peut dire , en géné-

d'r rai, que de quelque côté que tombe la courbe, -| — 5 est du

même signe que j^ lorsque la courbe tourne sa convexité vers l'axe des abscisses, et prend un signe contraire lorsque la courbe tourne sa concavité vers le même axe.

La courbe tournant sa convexité ou sa concavité vers l'axe des abscisses , suivant que l'ordonnée est parvenue à

son minimum ou à son maximum, on voit pourquoi -r-^,

est positif dans le premier cas, et négatif dans le second. Ii7. On dit encore qu'il peut y avoir Un maximum ou

SIGNIFICATION DES GOEFFiGIENTS DIFFÉRENTIELS. 87

un minimum lorsque -p- = oo . Pour expliquer ce que celte

Cl M>

condition signifie, so\ly=ifx Téquation d'une courbe MN {figm a5 ) ^ il est certain que si Ton donne à x une valeur AP, cette équation déterminera Tordonnée PM.

Si Ton résout ensuite Féquation par rapport à ^, et qu^on en tire a:=yy5 lorsqu'on fera y=.KP (valeur précédente de y)^ l'équation donnera x = P'M. Dans ce dernier cas , j sera considéré comme Tabscisse, et x comme l'ordonnée; et l'on construira la même courbe , pourvu qu'on porte les abscisses y sur Taxe AY, et que l'autre axe soit regarde comme celui des ordonnées.

Dans cette hypothèse, on peut donc chercher le maximum ou le minimum de la fonction x àcy. Pour cet effet ,

d X de l'équation proposée on tirera j— = M, et Ton suppo-

sera M = o*, cela posé, l'équation — = M nous donnant

--— = —, on voit que lorsque M 2= o , -p- = oo : ainsi , la

dj: M * ^ ax

condition nécessaire pour qu'il y ait un maximum ou un minimum dans le sens des abscisses, est qu'on puisse avoir

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