DES POINTS DE REBKOUSSEMENT

points que Ton a compris sous le nom de points de rebroiis- i

sèment^ c'est ce que nous allons examiner plus particuliè- *

rement dans le paragraphe suivant.

DES POINTS DE REBK008SBME1IT.

13i. Lorsqu'une courbe s'arrête dans son cours, et revient sur ses pas, on a un point de rebroussemenl; le rebroussement est de la première espèce lorsque les deux branches se tournent leurs convexités, comme dans la 'fie' ^4? ^^ ^^ rebroussement est de la seconde espèce lorsque les concavités sont concentriques, comme dans la Jig. 35.

132. La courbe s'arrête ainsi, parce qu'au delà du point C de rebroussement, les valeurs que l'on donne à l'abscisse en déterminent d'imaginaires pour l'ordonnée, ce qui suppose que -r^j renferme un radical*, et si, avant que la

courbe suspende son cours, j-^ donne deux valeurs, l'une

du signe de j^ et l'autre d'un signe contraire, cela annonce

qu'il y a deux branches de courbe réunies au point C

( fis- ^4)î l'une convexe vers l'axe des abscisses, et l'autre

concave : à ces caractères on peut reconnaître un point de

rebroussement de la première espèce -, si , au contraire , les

d*r deux valeurs de j-^ sont de même signe , les deux branches

qui se réunissent en C (fig* 35) ne peuvent être que concentriques : par conséquent le rebroussement sera, dans ce cas , de la seconde espèce.

133. Pour premier exemple, examinons s'il y a des poî nts.de rebroussement dans la courbe qui a pour cqualîon

98 CiLGUL DlFFÉnEMTIEL.

Cette équatloQ donne

On voit que lorsqu'on prend x négatif, y devient imaginaire*, donc la courbe s'arrête à l'origine, où x = o et y = o. Mais cela ne prouve pas encore qu'il y ait à l'origine un point de rebrous&ement| car il pourrait n'exister en ce point qu'un arc de courbe, toujours concave du même côté , comme cela a lieu au sommet de l'hyperbole ; ainsi , pour reconnaître si la valeur de a: = o correspond à un point de rebroussement , il faut savoir ce que devient, près de l'origine, le coefficient différentiel du second ordre : or, en différentiant et en divisant par dx l'équation

on trouve

djr

Pour savoir si la courbe est concave ou convexe , près du point où elle suspend son cours , on augmentera l'abscisse de ce point d'une petite quantité A, en faisant x = o H- A, c'est-à-dire A; et en substituant cette valeur dans celle de

1— ;> on trouvera

Ces deux valeurs de signes contraires indiquent donc deux branches ; Tune AM {fig- 36), qui tourne sa convexité vers l'axe des abscisses, et Tautre AN, qui tourne sa concavité vers le même axe^ par conséquent Torigine est un point de rebroussement de la première espèce.