Les points de rebroussement appartiennent à une

classe de points compris sous la dénomination de points

multiples.

DES poihts multiples.

137. On appelle /?omf 5 multiples les points où plusieurs branches de courbes se réunissent. Un point multiple est double lorsqu'il est à l'intersection de deux branches; il est triple lorsqu'il est à l'intersection de trois branches; ainsi de suite.

138. Soit A [fig* 37) un point double, formé parles deux branches de courbe AB, AG^ auxquelles on a mené les tangentes AT et AT'. Si nous représentons par F (x, j") = 0 l'équation de la courbe, délivrée de radicaux, la différentielle

DES POINTS MULTIPLES. lOI

de celte équation, mise sous cette forme, Pda;-i-Q<lx = o, ne renfermera aucun radical , parce que la difTérentiation d'une fonction rationnelle n'en introduit point dans cette fonction 5 d'où il suit que P et Q seront des quantités rationnelles.

Cela posé , Féquation précédente nous donne

■r^ devant avoir deux valeurs différentes, puisqu'il y a deux

p tangentes, il faudra que - se détermine de manière que

. . P cette condition soit remplie; or elle le serait, si - renfermait un radical ; mais c'est une chose impossible, puisque

nous avons vu que ~ était rationnel : dans ce cas, il faut

que l'Algèbre nous conduise à un résultat qui évite cette

contradiction^ et c'est ce 'qui a lieu lorsque — se présente

sous la forme -> car nous savons que - estle symbole d'une

quantité indéterminée, et par conséquent susceptible de plusieurs valeurs.

139. Voici de quelle manière ce théorème se démontre. Supposons pour un instant que aetaf représentent les deux valeurs de la tangente trigonométrique de la courbe, au point multiple , ces valeurs devront satisfaire à Féquation

Qdr

et donneront

P-|-Qa=:0, P-}-Qa'=0.

Ces deux dernières équations étant retranchées l'une de l'autre, on obtient

lOa CALCUL DlFFÉRElfTlEL*

or, le facteur « — ol étant composé de deux quantités inégales , ne peut être nul ; d*où il suit qu'on a Q = o , ce qui réduit l'équation P -f- Q« = o à P = o. Au moyen de ces

dr valeurs de P et de Q , Téquation P -h Q -p^ = o , ou plutôt

dy P , .

-p- — — - devient àx Q

dj o d.r o

t4(K Si 9 au lieu de deux branches réunies en un points nous en avons un plus grand nombre, il suffit d*en considérer seulement deux 9 pour prouver qn'au point de rencontre de toutes ces branches, -r^s— On ne neut parvenir aussi facilement à la même àx o ^ *^ *

conclusion , lorsque plusieurs branches de courbe n*ont qu'une tangente commune; néanmoins, dans ce cas même, on peut encore prouver que -— doit se présenter sous la forme — ; mais

comme la démonstration de ce théorème est fondée sur la considération des contacts des courbes , nous nous réservons de la donner (art. 172 ) , lorsque nous aurons parlé des courbes osculatrices.

141. On peut remarquer que la démonstration de Parti cle i39 étant fondée sur ce que l'équation primitive a été délivrée de radicaux, si Ton diiTérenliait sans les avoir préliminairement fait disparaître ^ il pourrait se faire qu'une équation qui comporte des points multiples ne

donnât pas -p- = — Par exemple, l'équation {78), art. 133,

page 97, est dans ce cas : elle a un point double a l'origine, et cependant si Ton fait x = o^ Téquation (79) se

,1 . , dj réduit a -p^ = I .

ùx