DES POINTS CONJUGUÉS. 1C
qu'elle ne puisse subsister que pour un point de ce genre; car la démonstration précédente ne nous dit pas que cette propriété leur soit exclusive. Ainsi, tout ce que l'on en
doit conclure , c'est que Içi réduction de -p- à -» indique seulement qu^il peut y avoir un point multiple.
143. Ce qui précède suffit pour nous indiquer le moyen de reconnaître s^il peut exister des points multiples dans une courbe déterminée par une équation. Pour cet effet, soit U cette équation ; on en déduira, par la différentiatîon, Pda*-+- Qdjy := o, et l'on verra sî les mêmes valeurs dé X et de y satisfont à la fois à la proposée et aux équatiofus P = o , Q = o ; si cela est , ce sera un indice que ces valeurs de x et dey peuvent appartenir à un point multiple, et alors, en discutant la courbe aux environs de ce point, on reconnaîtra s'il est multiple.
DES POIirrS CONJUGUÉS.
144. Considérons une courbe qui soit telle, que dans la partie où ses coordonnées sont imaginaires il existe seulement deux coordonnées réelles ; ces coordonnées construiront un point qui sera entièrement détaché de la courbe, et auquel on a donné le nom de point isolé ou de point conjugué.
Représentons maintenant par y=zfx T équation d'une courbe qui a un point conjugué. Si a et £ sont les coordonnées de ce point, il faudra qu'au moins, dans ses environs, les coordonnées soient imaginaires, autrement il ne serait pas isolé', par conséquent, si nous supposons que Tabscisse a s'augmente d'une petite quantité h , Tordonnée correspondante, représentée par^ (a -f- /i) , devra être imaginaire \ or la série de Taylor nous donne , en général ,
^ ' d jc d a:- I . 2 a .r' a . 3
Faisant x = ayi\ faudra que Tordonnée correspondante soit b] par conséquent nous changerons y en i; et, appelant
(dj\ /d'r\ /d^r\ d~/* \d~») idj^)' ^^^'' ^^ ^^^^ deviennent les coeflS-
cients diflerentiels dans cette hypothèse , nous aurons
Or, pour que/ (a+h) soit une quantité imaginaire, il faut au moins que Tune des expressions {j^)> (j^)' (t^)' ®^^''
soit imaginaire; c'est-à-dire que Thypothèse de x = a-hh rende imaginaire l'un des coefficients différentiels; si celte condition est remplie, la courbe pourra avoir un point conjugué.
Par exemple , si Ton a l'équation
en la différentiant , on trouvera
li-H'^'-m)
Celle valeur devenant imaginaire lorsqu'on fait x = — 6, et par conséquent ^ = o, il est à présumer que le point A (/'S' ^8) y dont les coordonnées sont ar = — b et j- = o, est un point conjugué; nous reconnaîtrons ensuite si ce point est réellement conjugué, en augmentant et en diminuant successivement Tabscisse — b d'une quantité plus petite que i, et nous trouverons que, dans les deux cas, y devient imaginaire, ce qui annonce que le point dont il est question est un point conjugué.
i45. Les points conjugués , comme les points multiples ,
manifestent leur existence en rendant- le coefficient diffc-
• 1 d r rentieJ -~.
ax
DES COURBES OSCULÀTHICES. lo5
En eifet, Téquation
étant différentiée et divisée par dx, nous donne
dx* do: dx dx^
d' r et l'on voit que le terme qui est affecté de j^ a Q pour
coefficient; en différemiant de nouveau, on trouvera que Q
d^y est encore le coefficient de -r^» et ainsi de suite •, de sorte
que lorsqu'on sera arrivé au coefficient de l'ordre w, nous aurons un résultat de la forme
(8.) Qfë + ^ = o-
Cela posé, il y a au moins Tun des coefficients différentiels qui devient imaginaire pour une valeur de or, et qui par conséquent contient un radical -, représentant ce coefficient
par -r-^ 9 il faudra donc que la fonction de x que représente
cette expression ait plus d'une valeur. Cela suffit pour que
nous puissions conclure, comme dans Fart. 139, que
dr Q = o , ce qui réduira l'équation P-+-Q-p- = o à P = 05
il suit de là gu'on doit avoir —-^ = —
^ dx o
DES COIJBBES OSCULATRICES.
146. Soientj' = ça: et j'=:FjC les équations de deux courbes qui se rencontrent {fig. 3g) au point M, dont les coordonnées sont AP = a/, PM =^'5 on aura donc, pour
ce point ,
(par' = ¥x''y
106 CALCUL DlFFÉREKïlEL.
supposons que xl devienne ensuite a/ + /t, les équations précédentes donneront
d»x' d'vx' A»
Si tous les termes correspondants de ces développements sont identiquement les mêmes, les courbes se confondront 5 si Ton a seulement Vjd = ^ j/, les courbés, comme nous l'avons vu, n'auront de commun que le point M^ si, outre
Fx' = ça/, on a , ^ = -pr-î ces courbes se rapprocheront davantage ; et encore plus , si , outre ces équations , on
d»F«'» d>ar' . . j . .1
a encore . , ■ = , , > et ainsi de suite: car il est da?'^ dx" '
évident que la différence de M''' P à M' F sera d'autant moindre, qu'il y aura un plus grand nombre de termes égaux dans leurs développements.
Cela posé, soient û, è, c, etc., les constantes de l'équation y"=:.Y x\ on peut, sans changer la nature de la courbe, donner des valeurs arbitraires à ces constantes. Par exemple, si l'on a l'équation j^ -=: mx ->r nx^^ qui est celle d'une ellipse, quelque valeur que l'on donne aux constantes m et «, cette équation ne cesse pas d'appartenir à une ellipse^ puisque l'équation conserve toujours la même forme (bien entendu qu'on né fait varier m et n que dq grandeur et non de signes , et qu'on ne les suppose pas nuls). D'après cette observation, on peut regarder comme arbitraires les constantes a, £, c, etc., qui entrent dan& les équations
, , dFjr' d(px' d'F.r' d'-'tpx' ^^"=^'^' "d^-^-d^' "d^^-dl^'"*'
et en prenant autant de ces équations qu'il y a de con-
DES COURBES OSCULATRICES. I07
stantes, on déterminera ces constantes par la condition que ces équations soient satisfaites.
Par exemple, si l'équation j^ = Fo: ne contient que trois constantes a, &, c, on posera
On tirera , de ces équatioAs , les valeurs de a , de £ et
dy
de c, en fonction de j/, de y, de-—)? etc. ] on les substituera dans Téquation ^ = F a:. Alors elle jouira de cette propriété que, lorsqu'on y mettra a:' + A à la place de x, Téquation (84)9 qu'on obtiendra à l'aide de la formule de Taylor, aura les trois premiers termes de son second membre respectivement égaux aux trois premiers du second membre de l'équation (83).
Ce que nous disons d'une équation qui ne renferme que trois constantes, peut s'appliquer à une qui en contiendrait un plus grand nombre.
147. Prenons pour exemple le cas où l'équation j^ = F j: représente celle d'une ligne droite ; celle équation y =zF x sera donc remplacée par celle-ci ,
(85) jr=:ax-hb.
Les équations de condition, nécessaires pour l'élimination des constantes a et & , seront
(86) ffx'zrzax'-ht,
di^x'
dx
et comme <fxf représente l'ordonnée en M de la courbe dont l'équation est j- = y x, et que ocf correspond à y'^ nous pourrons remplacer (fx' par j^', et les équations (86) se changeront en
lo8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
éliminant a^ on obtiendra
Substituant la valeur de b donnée par cette équation, et celle de a, dans l'équation (85) de la ligne droite, celle-ci deviendra
On reconnaît dans cette équation , celle d'une tangente MT (Jig' 4^) au point M, dont les coordonnées sont aif et y (art. 73). Nous verrons bientôt pourquoi cette droite MT est tangente en M.
i48. Reprenons la théorie précédente, et, pour éviter les périphrases, convenons de dénommer les courbes par leurs équations. Nous avons vu (art. 146) que si les courbes yz= y a: et j* = Fa: avaient seulement un point commun, en représentant par a/ et y les coordonnées de ce point, on aurait l'équation de condition Fa/ =:(fa/] mais qu'en déterminant deux constantes de l'équation j" = F x , par les
conditions F a/ = ç y, et , = -pv» "^^ courbes commenceraient à se rapprocher.
Représentons par y =Jx ce que devient y :=F x après qu'on y a substitué les valeurs de ces deux constantes, la courbe jr:=fx sera une osculatrice du premier ordre à la courbe j" = f a: -, et si, toujours en vertu des valeurs arbitraires qu'on peut donner aux constantes , on élimine trois des constantes de l'équation ^ = F a:, au moyen des équations suivantes ,
et qu'on représente par ({/ x ce que devient F a:, après cette
