DES COURBES ÛSCULATR1GES. IO

substilution, cette courbe j^ = ^x sera une osculatrice du deuxième ordre à la courbe j^= yx, dont elle approchera encore plus, et ainsi de suite ] de sorte que, pour une osculatrice du n'^""' ordre , nous aurons les équations

i49. Nous allons démontrer que, de deux osculatrices qu'on a obtenues ainsi , en faisant varier les constantes d'une même équation , celle de ces osculatrices qui est d^un ordre inférieur ne peut passer entre l'autre et la courbe à laquelle on a mené ces osculatrices.

Par exemple, soient MB {Jig» Sp) la courbe yz^tfx^ et MC son osculatrice j^ = ^ a: du second ordre 5 il s'agit de démontrer que l'osculatrice y=fx du premier ordre ne peut passer entre les courbes MB et MC.

Pour cet effet, en mettant j/ + A à la place de x, dans ces équations, nous trouverons

la courbe y = ifX étant une osculatrice du second ordre à jr = G>x, il faut qu'on ait

**=^*' di^ = l^' "d^-'dy^'

D'une autre part, yz=,fx étant une osculatrice du premier ordre à ^ = yx, on a encore

/•V — «^ d/r'dyx'

IIO CALCUL DIFFÉKElfTIEL.

en vertu de ces ëquatious , on a donc

çp.r' z=^x' ^fx\ dyj' A^x' d/c'

et seulement

faisons, pour simplifier.

d.r'^ ^ dx" '

ilier.

les trois développements précédents pourront s'écrire ainsi :

P'M' ou (p(^'^A)=K-hV^>-|-^^^-f-..., P'M" ou ^[x^^h) — ¥.^\h*-4r--f-7^—^+...,

CI X 2 • o

/(..' + A) = KH.^-+^j^

et en observant que tous les termes, à partir de celui qui est affecté de A', ont h^ pour facteur commun , nous pourrons supposer

et en faisant des réductions analogues dans les autres équations, on aura

<p (ar' 4- A) = K -f. VA» -f- M/i% ^ (.r' -f- A) = K -h VA^ -f- N A%

/(y-hA) = K-f.i^'A'-hPA^ Les courbes / =yi: ety = ^J; a: étant des osculatrices,