DES COURBES OSCULATRICES. III

Tune du premier ordre et Fautre du second ordre, V dîffèrc nécessairement de 7-^77* On ne peut donc faire que

Cl JC

deux hypothèses sur V, savoir :

Si V est moindre que 7 -r^ j soit Z Texcès de j- -j^ sur V, on aura

d*/x' si, au contraire, V surpasse j -t—tj» la quantité Z sera négative.

d'/r' En substituant celte valeur de t-t—-» dans celle de

y*(j/-f-A), et en observant que A' est facteur commun, nos trois développements deviendront

9 (or' 4- A) = K -f- (V -I- M^) h\ tKx' 4- A) = K 4- (V 4- N A) A», /(x'4-A) =K4-(V4-Z4-PA)K

Or, en faisant h très-petit, il est possible que la quantité Z indépendante de h soit plus grande que les expressions MA et N A qui tendent vers zéro. Alors , si Z est positif, y*(j/ 4- A) surpasse ç (a/ 4- A) et ^ (x' -\-h)] dans ce cas, on a doncf(xf-hh) ou VM" [fig. Sp) plus grand que PM' et que FM", ce qui montre que la courbe Y =y^9 représentée par MM'", ne peut passer entre les deux autres.

Si, au contraire, Z est négatif, on a [[od 4- A) ou P'M^^ moindre que P' M' et que VW 5 la courbe MM*' étant alors celle qui s'approche le plus de l'axe des x, ne peut être comprise être les deux autres.

lia CALCUL DIFFÉRENTIEL,

i50. On peut maintenant expliquer pourquoi la ligne droite [fig* 4^)? qui (art. 1 47) est une osculatrice du premier ordre, est tangente à la courbe; car il résulte de notre théorie, qu'entre cette droite et la courbe on ne peut faire passer aucune autre droite, ce qui est la propriété de la tangente.

On dit que la tangente a un contact du premier ordre avec la courbe. En général, une osculatrice d*un ordre n a un contact du même ordre avec la courbe à laquelle elle est osculatrice; ainsi, lorsqu'on a, entre deux courbes, les équations

ces courbes ont entre elles un contact du second ordre. Ce contact sera du troisième ordre, si , outre ces équations , on a encore celle-ci :

et ainsi de suite.