Le double signe est 'relatif à la position de 7 : si la
d'r courbe tourne sa concavité vers l'axe des x, alors -^^
. , sera
négatif (art. 115) ; et pour qu'alors y se détermine positivement, nous le prendrons avec le signe négatif, et nous
DES GOURBIS OSGVLATllICES. Ii5
écrirons
<îar la courbe , tournant sa concavité vers l'axe des abscisses, -7— ;■ lient la place d'une quantité négative , qui , lorsqu'elle
sera substituée dans la valeur de y, la rendra positive.
153. On a donné au cercle que nous venons de considérer le nom de cercle osculateur, et à son rayon celui de rayon de courbure^ il ne s'agira donc, pour obtenir le rayon de courbure , que d'avoir l'équation de la -courbe, pour en déduire les coefficients difîérentiels qu'on substituera dans la formule {99).
Si la courbe devait tourner sa convexité vers l'axe des x^ nous ferions précéder la râleur de y du signe positif.
iS4. On écrit quelquefois ainsi la valeur de 7 :
Cette formule se déduit facilement de réquation (99); car en réduisant au même dénominateur les deux termes qui sont sous la parenthèse, et en observant que la puissance | de â.r% est dx^^ on obtiendra
^ ~" "^ , , d'r "~ dxd^jr
cIj:- -; — r
JC'
15S. Pour donner une application de la formule (99), cherchons le rayon de courbure de la parabole NAM(/îg'. 4^)^ dont l'cquation est x* =my ^ nous trouverons
, , d^ 2jr d*r a
dx m d x' m
Il6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
donc
el en élevant les deux facteurs à la puissance |, on a
(loo) y — ~^
or, la normale à la parabole ayant pour expression ( Théorie
des courbés, art. 263) ( y- -f-xMS on voit que le rayon
de courbure de la parabole est égal au cube de la normale j divisé par le carré du demi-paramètre,
156, Le cercle osculateur peut servir à mesurer la courbure de la courbe en un point M {^fig* ^i)\ car, si en ce point M on décrit, avec le rayon de courbure, un arc ML très -petit, cet arc pourra être considéré comme l'arc même de la courbe , dont il s'écarte très-peu : or, plus l'arc ML a de courbure, plus son rayon est petit-, d'où il résulte que par le décroissement du rayon de courbure , ou par son accroissement 5 on pourra connaître si la courbe augmente ou diminue de courbure.
Par exemple, en considérant l'équation (loo), qui donne le rayon de courbure de la parabole, on voit qu'au sommet
de la courbe, où x = o , y = — 5 mais que lorsque x s'ac-
croît successivement, y augmente, ce qui annonce que la courbure de la parabole va en diminuant, lorsqu'on s'écarte du sommet.
lo7. y- exprimant la tangente trigonométriquede l'angle
DES COUHBES OSCtLATRlCES. II7
que la tangente en M {fig- 43) fait avec Taxe des jc, Féquation de la normale assujettie à passer par un point dont les coordonnées sont a et (3, sera (art. 73)
djc , .
Celte équation étant la même que l'équation (gS), dans laquelle a et (3 sont les coordonnées du centre du cercle osculateur, on voit que le rayon de ce cercle est une normale à la courbe.
158. Si maintenant, par tous les points d'une courbe MM' M''. . . {fig- 44)5 011 mène des rayons de courbure MO, M'Cy, M^'O", etc., on construira une suite de points O, (y, (y\ etc.; ces points étant assujettis à une certaine loi (*) , cela sufEt pour que nous puissions donner le nom de courbe à leur système \ mais nous ne prononcerons encore rien sur la nature de cette nouvelle courbe, qu'on appelle la déi^eloppée rfe la courbe MM' M''. Celle-ci , considérée relativement à la développée, est appelée la (lé\Hiloppante,
159. Si Ton passe d'un point à l'autre de la développée, non-seulement x eij varient, mais encore a, (3 et 7 varient en même temps : car a et p étant, en général, les coordonnées des centres du cercle osculateur, comme la développée est formée par le système de ces centres , il eu résulte que a et j3 sont les coordonnées de la développée, coordonnées qui doivent varier d'un point de la courbe à l'autre. Il en est de même dey, qui est le rayon du cercle osculateur, et qui représente alors la distance d'un point quelconque de la développée à un point de la développante d'où est parti 7. Par conséquent, en diflerentiant l'équation (96) par rap-
( * ) Elle est implicitement renfermée dans Téquation de la courbe MM' M* puisque cette courbe étant donnée, la position de ces points en résulte..
Il8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
port à toutes les lettres (*) , et eti divisant par do:, nous^ obtiendroh s
d'X d/' d/dp da__
^ -^ "^ p ^ d? "^ d r» ~ ïu a:; " ^ ' "■ ïû - "" ^
retranchant l'équation (96) de celle-ci , il reste
dx dp doL
d'où Ton tire
dx dx dx '
da
dy dx d a I
dï'^^dl^ — di^dp"
dx dx
or (art, 69)
don(!
dp ""d|i' dx
djr da dx
dx dx dp
et, par conséquent (art. 26),
dy doL
dx~~ ^' dp*
d y Si Ton substitue cette valeur de -p- dans Téquation (pS), on
{*) On ne peatpM diiTérentier autrement Téqnation
et ses dérivées ; cependant il semble que nous ayons agi autrement lorsque de l'équation (90) nous ayons déduit les équations (gt) et(93). Je répondrai que, comme nous avions deux constantes arbitraires dans Téqua^ tion (90), nous les avons déterminées par la condition que les fonctions représentées par les premiers membres des équations (92) et (93) fussent nulles; mais, sans cela, nous n'aurions pas en le droit de conclur* de ce que l'équation (90) a lieu , que les équations (92) et (93 ) doivent aussi avoir Ueiis
DES COURBES OSGULATRICES. I Ig
obtiendra
(idi) ^^p==^(^««;.
