Nous avons vu (art. 157) queTéquation

était celle du rayon de courbure qui passait par le point

djp dont les coordonnées sont x et /. En remplaçant — -r—

dB *^

par -jpi ce sera toujours l'équation du même rayon j maïs

l'équation (loi) étant aussi celle d'une tangente menée au point de la développée, dont les coordonnées sont a et ^ ('*'), le rayon de courbure est 4oiic tangent â la développée.

161. Comme dans la démonstration suivante nous emploierons la différentielle d'un arc de courbe, nous allons déterminer cette différentielle.

Supposons qu'une abscisse AP = x (fig» 4^) s'accroisse de PP'= h 5 si nous menons la parallèle MO à l'axe des x^ nous aurons évidemment

corde MM' = v^MO' -f- M' 0» = sjh' -h M' 0' ; or

M'O =:/{x -h à) ^fa: = p- h ^^1 ^ ^ . . . .

Substituant cette valeur dans l'expression de MM', et représentant par A, par B, etc., lés coeffieients de A*, de A^, etc., on aura

MM' = 1 / ^* -h T^ ^'-4- A ^» -h B A^ -4-

{*) Observons qu'en général a et ^ étant les coordonnées d'un point quelconque de la développée , Téquation de la développée sera ^ =/«. ;

donc -r-^ représente (art. 75) Tangle que la tangente au point te, ^ fait

avec Taxe des abscisses.

laO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

OU

MM'= t/^' (i-^ ^\ -h Ah' -h Bk'

donc

MM

Dans le cas de la limite, la corde se confond avec l'arc que je représenterai par 5, de sorte que nous aurons

d d'où nous tirerons, en multipliant par dx,

162. Pour la développée, dont les coordonnées sont a et |3y nous aurons donc également

ds =z v/d a' 4- d pi'.

i63. Diiïérentîons maintenant Téquation (94) par rapport à toutes les lettres, nous trouverons

(r— P)(dj — df)H-(jr — a)(dx — da) = 7d7; Féquation (pS) nous donne

{X — P)dx -h {x — a.)dx z=o'y

retranchant ce résultat de l'équation précédente, il nous reste

(102) -— (7 — ^)dp — (.r — a)da = ydf.

Si dans cette équation (102) et dans l'équation (94) nous substituons la valeur de j^ — 13 , donnée par l'équation (101), nous trouverons ces deux équations :

— j^ (x — a) — (ar — a) d a = vdv, dfi'