f- j = constante^ ou
( I o3 ) MO ■+- arc OB = constante .
Pareillement , le rayon de courbure M' O donne lieu à T équation
7' H- j' = constante ^
12*1 CALCUL DIFFÉaSlTTlEL.
OU
( I o4 ) M' O' -f- fl/r 0' B = constante ;
les seconds membres des équations (io3) et (io4) représentant une même constante, nous tirerons de ces équations ,
M'O' -+- arc 0' B = MO -H ^/r OB ,
et, par conséquent ,
M'O' — MO = an: OB — a«? O'B = arc 00' ,
ce qui nous apprend que la différence de deux rayons de courbure est égale à Varc quils comprennent entre eux.
165. Il suit de là que si Ton applique sur la développée OB [fig. 46) un fil qui, se terminant tangentiellement, soit fixé au point M de la développante MC, lorsqu^on développera ce fil, en le laissant constamment tendu, son extrémité M décrira dans ce mouvement la développante MC; car, en supposant que dans son mouvement il soit arrivé dans une position (yM^ il se sera accru de OCy, et par conséquent égalera en longueur le rayon de courbure qui passe par le point CV ; donc 1 extrémité M' de ce fil sera sur la développante.
166. Voici de quelle manière on peut trouver l'équation de la développée : i° on tirera de l'équation de la
courbe les valeurs dey, et des coefticients différentiels ■—-t
-î— 55 etc. ; a° on substituera ces valeurs dans les équa*
tions (95) et (96), ce qui donnera deux nouvelles équations , qui ne seront plus que des fonctions de x*, 3° éliminant X entre ces équations , on parviendra à une équation entre a et p. Cette équation sera celle de la développée.
167. Déterminons par ce procédé la développée de la parabole, dont T équation est x* = my : en différentiaut ,
DES COtiaBÉS OSCULÂTIIIGES. laS
on
trouve
^xdxz
= wdjr,
et,
par conséquent ,
djr
do:
dx» ""
T -hi =o;
substituant^ dans les équations (95 ) et (96) , ces valeurs de
y, de -p- et de t-^> ces équations deviennent
retranchant Téquation (io5) de Téquation (106), multipliée para:, on obtiendra
D'une autre part, F équation (106) multipliée par m*, et réduite , nous donne
6 x* — 2 m p -f- /7l^ r= o , d'où l'on tire
(io8) p = 1
En éliminant x entre les équations (107) et (108), on aura l'équation de la développée.
Mais avant de faire cette opération , remarquons que, pour Tûrigine oùa: = o, les équations (107) et ^108) se
réduisent àa = o,/3==:— *, en prenant donc AB = —
[fis- 47)? on a le point B de la développée 5 ou voit ensuite, par Téquation (108) , qu'en donnant des valeurs positives ou négatives à j:, j3 augmente à mesure que ces valeurs s'accroissent, d'où il résulte que la développée se compose de deux branches BC et BD.
168. Pour éliminer x entre les équations (107) el (108}, la première, élevée au carré, donne
16' d'une autre pari, on tire de l'équation (108) ,
en élevant au cube les deux membres de cette équation , ou trouve
égalant ces deux valeurs de x*, el divisant par m', on obtient
appelons (3' la quantité j3 » et multiplions par 27, celte
équation devient
(;n faisant -^ m = w , l'origine est alors transportée en B , puisque (3' = j3 •
169. Une osculatrice peut être située de deux manières différentes , à Fégard de la courbe avec laquelle elle est en contact : i^ elle peut avoir ses deux branches toutes deux
(*) Il est facile de prouver que les branches BC, BD se tournent leurs convexités; car en différentiant deux fois de suite l'équation /3" = naS
i 1 d'à' ^ — ^ » fn
ou /3' =in*K*, on trouve -p^ = — fn'a ' = — |i/ — , valeur négative
pour a positif comme pour a négatif, ce qui prouve que chaque branche tourne sa concavité vers l'axe des x.
DES COURBES OSGULATRIGES. 1^5
au-dessus de la courbe, comine dans la fig. 48. ou toutes deux au-dessous, comme dans la^g'. 49 \ alors rosculatrice ne fera que toucher la courbe 5 ^^ Vosculatrice peut avoir une branche au-dessus de la courbe et P autre au-dessous, comme dans la^g^. So^ dans ce cas, Fosculatrice coupera la courbe au point M.
170. On va démontrer {fig» 5i) que le cercle osculaleur coupe la courbe.
Soient pour une même abscisse x -\-h^
Y l'ordonnée de la courbe ,
Y' l'ordonnée de l'osculatrîce; on a donc
j Y = (p(x-H A) = (pa: + AA-+-B//'-|-CA^ -h. . ., (ïog; I Y' = F(.r + A) = Fx-f-A'A + B7i' + C'A3-h
Or, puisque le cercle est une osculatrice du second ordre (art. i-48), les trois premiers termes de ces développements seront les mêmes \ donc la différence des ordonnées , qui correspondent à a: -j- A , sera
Supposons maintenant que Tabscisse devienne x — A 5 il faudra changer A en — h dans la différence des ordonnées, qui deviendra
Or, comme le premier terme des suites (iio) et (m) peut surpasser la somme de tous les autres termes, en prenant h assez petit , il en résulte que la différence des ordonnées changera de signe, lorsque l'abscisse, au lieu d'être a:+A, sera a: — h-^ ainsi, en prenant {fig* 5i) PP''=:PP'=A, si la différence des ordonnées correspondantes k x-^h est une quantité positive, c'est-à-dire si l'ordonnée VM! de la courbe surpasse PN', l'ordonnée P^'N'' de Vosculatrice
126 CALCUL DIFFÉ&B1ITI£L.
surpassera Tordonnée P"JVI'''de la courbe : d'où Ton conclura que Posculatrice est d'un côté an-dessus de la courbe et de l'autre au-dessous, et par conséquent la coupe.
Ce que nous disons du cercle, qui est une osculatrice du deuxième ordre, peut s'appliquer à toute osculatrice d^ ordre pair.
171. Si Tosculatrice était d'un ordre impair, elle toucherait seulement la courbe, au lieu de la couper. Cela est évident d'après la démonstration précédente.
