Voici le théorème que nous avons promis de donner

(art. 140) sur les points multiples. Si les courbes qui se réunissent

en un de ces points ont une tangente commune dont l'équation

soit représentée par / = aj:-!- 6, nous changerons Yx en ax-^-h

dFx dans la seconde des équations (109), ce qui donnera — — ou

Afz:=. Oy et tous les autres coefficients de cette équation seront nuls. La tangente étant une osculatrice du premier ordre, f«-f- AA égalera ¥x •+■ A'A, ce qui réduira la différence des équations ( 1 09) à

Y — Y' = BA»-f-C/i3H-

Cette différence des ordonnées devant avoir une valeur double,

QM et QM' [fig. Si ), il faut que l'un des coefficients différentiels

. d"®jp qui sont représentés par B, G, etc., ait deux valeurs. Soit -p—- ce

coefficient; si l'on prend les différentielles successives de l'équation Pdar-h Qd/ = o, nous avons vu (art. 14») qu'à chaque différentiation le terme Q reste toujours facteur de la différentielle de l'ordre le plus élevé de jr; de sorte que la différentielle de Tordre n de la fonction proposée pourra être représentée par

Q -—::-. -h K = o, et puisque j~ doit avoir deux valeurs, on prou-

Cl i*» u X

vera, comme dans Fart. 159 que Q est nul. Cette valeur de Q réduira celle de P à zéro ; d'où il suit que l'équation -r— = — ^

dr o donnera -7^ = -• i\,T o

DÉVELOPPEMErfT DBS FONCTIOMS DE DEUX VARIABLES. 1 27

APPLICATION DU THÉORÈME DE TAYLOR AU DÉVELOPPEMEHT DBS PORC- TIORS DE DEUX VARIABLES QUI REÇOlVERt DES ACCROISSBVERTS.

173. Lorsque dans une fonction i/, de deux variables indépendantes X et j^, on change jî en or -|- A, et j^ en j^ -h Ar , le théorème de Taylor peut nous donner le développement de celte fonction. En effet, si Ton substitue d^abord à x la valeur .r-hA, on aura

. ^, ^ , da ^ d»ii h' d»« h^

' "^ ' ax ax^ 2 djT* 2.3

h étant en évidence dans ce développement , j ne peut être

contenu que dans les fonctions li, -r— » -r— .> -i— ;' etc. Chan- * ax dar' djr

géant donc y en y^k dans ces fonctions, nous remplacerons, dans Téquation (112),

du , d»« k" d^a h^

u par a -f- ^ ^ -I- -— ^ -f. -- — -

d^ ay^ 2 d^ 2.3

di» dM àx , 'dx*' dar ^*

dx d;r d/ ày^ 2 d^ 2.3

d^tt d'« d'à

d^ii d'à d^, à^k^ d? *»

par — -H-— ^H-

dx* d.ir' dj d/' 2 dj^ 2.3

et formant autant de lignes qu^il y a de termes dans l'équation (112), nous obtiendrons

d tf , du. d JT . ,

(ii3) / -Ht-^ -^ -j — '^^

^ ^ \ dx dy

174. Si Ton eût fail les substitutions dans un ordre inverse, on aurait d^ abord trouvé, en cliangeanl y en

^, ,, da , d'à A:» d'i* //'

et en mettant ensuite dans chaque terme a: -f- A à à la place de x^ on serait parvenu à ce développement

d« , 'dr ,,

L'ordre dans lequel nous avons fait ces substitutions étant arbitraire, puisque devant mettre x-k-li partout où entre x, et y + A partout où entre j^, ces opérations ne peuvent influer l'une sur l'autre ; il en résulte que les deux développements (ii3) et (114) doivent être identiques, et que, par cçnséquent , les termes affectés des mêmes produits de A et de /c ont les mêmes valeurs. Si nous égalons donc entre eux les termes qui sont multipliés par AA, nous obtiendrons

ax dr , ^ d^a q}u

-z — =2-- , ou plutôt -j-^- z= ..

djr cix axay ay ax

Cette équation nous apprend que pour prendre la différentielle seconde du produit de deux variables, l'ordre des différentiations est arbitraire. On prouverait la môme chose pour les coefficients différentiels des ordres supérieurs, en égalant entre eux les coefficients différentiels des autres termes des équations (11 3) et (ii4)«

MÀXIMA ET MINIMÀ DE5 FONCTIONS Bf D^UX TAl^. I2g

Des maxima et minima ^ dans les fonctions de deux variables-,

i7iS. Nous venons de voir (art. 175) quesi^ dans une fonction de deux variables indépendantes x et y, on remplaçait x par x+hj etx par y -{- k^ le développement de /(^ -f- A , ^ -f- >î") seraii donné par Féquatioii (ii3}. Si dans cette écpiation nous repré-

sentons/(ar -|- A , r -f- ^) par U , k par mh , et —. — par -; — 7- >

dj^ d:ca^

nous aurons

. /da da

\dj d:t

(iiS) / , ^ /d'à ' d'à d'ft\

^ ^^^'id?"'*^"dTd7'""^d^)

-f- termes en h^, e/t h%. ...

Pour que M soit un maximum ou un fninimhm, il faut <)ue, quelque

valeur qu'on attribue aux accroissements h et k ^ U soit toujours

plus grand que u ou toujours plus petit : or cela n'est possible

, /da da\ , . . ., .

qu autant que le terme h ( tj— ''^ "1" jT* 1 ^** ^^^ 5 ^^^ si cela n était

pas y ce terme (art. 91) pouvant être rendu plus grand que la somme algébrique de tous ceux qui le suivent , moyennant une valeur convenable de A , en prenant successivement cette valeur négative et positive, on rendrait, dans l'un des cas, U plus grand, et dans l'autre , moindre que u ; ainsi , pour que cette fonction u soit un maximum ou un minimum , il faut que Ton ait

, / au d»\

ou plutôt

d/i au

ny dx

L'accroissement k étant arbitraire , il en doit élre de même de m ; par conséquent cette équation a lieu quel que soit m^ ce qui exige

l3o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

qu'elle se partage en celles-ci :

au du

170. Examinons maintenant ce qui distingue le maximum du minimum. Pour cet effet, remarquons que puisque le terme en h est nul, c'est le terme en h^ qui doit décider du signe de la somme algébrique de tous ceux qui suivent u ; il faut donc que le terme en h\ s'il n'est pas nul, ne puisse, par des valeurs de h et de X-, se déterminer tantôt positivement , tantôt négativement ; autrement U pourrait être, dans un cas plus petit, et dans un autre plus grand que u; ainsi, nous allons chercher la condition qui doit avoir lieu pour que le terme en A' conserve toujours le même signe, quelles que soient les valeurs qu'on donne à A et à A\ Dans cette vue, représentons le terme en h^ de l'équation (i i5) par

|/^'(A/w'4-2B/w-hC);

mettant A en facteur commun , ce terme deviendra

(ii6) ^A//M /w'-f-2-~ m -h - j5

ajoutons sous la parenthèse la quantité identiquement nulle

— — -—j l'expression (i i6) pourra s'écrire ainsi :

et l'on voit qu'elle sera toujours du signe de A si , C et A étant de

mêmes signes, l'on a - > -— ^ c'est-à-dire AC]>B'; car alors la

quantité qui est multipliée par | A/i% sera essentiellement positive , et le signe de l'expression (117) dépendra de celui de A ; de sorte qu'on aura un maximum ou un minimum , suivant que A sera

d* a négatif ou positif, c'est-à-dire suivant le signe de-j — > qui est le

même que celui de - — :^, parce qu on a vu que C et A étaient supposés être de mêmes signes.

TRANSFORMATION DES COORDOMVÉES POLAIRES. l3l

DE LA TRANSFOlUfATION DES" COORDONNÉES RECTANGULAIRES