On peut aussi obtenir entre x et y une équation

qui ne contiendra point la transcendante arc ( tang ^^ - ) '

mais qui renfermera des différentielles. Pour cela , on différenticra Féquation qui est représentée par la formule (120), ou , comme cela se pratique , on emploiera le moyen suivant pour arriver à ce but. Représentons toujours par F (m, f) = o l'équation qu'il s'agit de transformer en une fonction dtes coordonnées rectangulaires x et ^ 5 nous venons de voir (art. 181) que la valeur de u pouvait s'exprimer en X et en ^, sans transcendante, mais qu'il n'en était pas de même de 1 5 c'est pourquoi nous chercherons d'abord à éliminer t entre F (f, u) z^ o, et la différentielle de cette équation, que nous représenterons par F (t^ u^dt^du)=o : à la vérité , nous introduirons dans le résultat de l'élimination, les différentielles d /. et di/; mais ces différentielle» pourront s'exprimer en fonction des variables x, jr^ dx et dy. En effet, les équations (i 18) nous donnent

{121) 008/ = -» sin/ = -«

Divisant l'une de ces équations par l'autre , on obtient

sin / r

ou tanc / r= - ,

cos t ° X

différentiant , il vient

dt xày — ydx

l34 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

remplaçant — ^ par sa valeur lirce de la première tîes

équations (121), et supprimant le diviseur commun x*, on trouve

et , par conséquent ,

et en mettant pour u sa valeur, cette équation devient

at =1 ;

La différentielle de l'autre variable se trouve encore plus facilement, car l'équation (119) nous donne

u = V J?' -f- jr^ y

cette équation étant différentiée, nous avons

xdx -j- rdr

Slx' + X^

au moyen de ces valeurs de d f , de d u et de u , on changera l'équation obtenue par l'élimination de f , en une autre qui ne contiendra plus que x^j^ àxelày^ et qui par conséquent se rapportera aux coordonnées rectangulaires.

183. On a vu (art. 161 ) que la différentielle d'un arc z rapporté aux coordonnées rectangulaires, avait pour expression

(i23) dz = v'd:c»H- dj».

On peut se proposer de déterminer la différentielle du même arc, lorsque les coordonnées sont polaires; dans ce cas, on substituera dans l'équation (laS) les valeurs de àx et de dx, tirées des équations

x=.u col ty et y z=z u sin ^,

SOUS-TANGEWTES , ETC., ALX COURBES POLAIRES i3j

et Ton trouvera, en différentiant ces équations,

cl .r =::r — U S'ill tàt -\- CCS tàu^

Ajf =: U cos f (1 f -h siii t i\u.

Elevant ces équations au carré, et réduisant à l'aide de la

formule

siii'^ -h cos^f = l'y

on obtiendra

dz = sju' d /' -h d «'.

Telle est la différentielle de Tare en fonction des coordonnées polaires.

DES SOUS-TAHGENTES , SOUS-NORHALESi HORHALES ET TANGENTES