Prenons inaînleiiant l'équation

et supposons que y devienne y lorsque x devient x -\-h\ nous aurons donc

et, en exécutant l'opération indiquée,

/ ■= a:=» -f- 3 je' h 4- 3 xh- -4- A' :

si de cette équation nous retranchons Téquation (i), il restera

/ -^7 r=: 3 j:^ /^ -+- 3 xh^ H- /t' ;

et, en divisant par A ,

(a) ^ y^ = 3x' -h'dxh-h h\

Voyons ce que ce résultat nous apprend : y — y représe»tél' accroissement de la fonction y en Vertu de l'accroissement h donné à a:, puisque cette différence ^ — y est celle du nouvel état de grandeur dejk son état primitif.

D'une autre part, l'accroissement de x étant A, il suit de

là que l'expression — r— ^ est le rapport de l'accroissement

de la fonction j- à celui de la variable x. En considérant le second membre de l'équation (2), on voit que ce rapport diminue d'autant plus que // diminue, et que lorsque h devient nul , ce rapport se réduit à 3 x^

DIFFÈRE» TlATIOl^ DES QUANTITÉS .ALGÉBRIQUES. 3

Ce terme 3x* est donc la limite du rapport *^ — j-^ : 'c'est

vers ce terme qu'il tend lorsqu'on fait diminuer h.

A. Dans l'hypothèse de /i = o l'accroissement de y deve-

nant aussi nul, se réduit a -» et par conséquent

Téquation (2) devient

Cette équation n'a rien d'absurde, parce que TAlgèbre nous apprend que - peut représenter toutes sortes de quantités (*). D'ailleurs on conçoit que puisque en divisant les deux termes d'une fraction par un même nombre, cette fraction ne change pas de valeur, il en résulte que la petitesse des termes d'une fraction n'influe en rien sur sa valeur, et que, par conséquent, elle peut rester la même lorsque ses termes sont parvenus au dernier degré de petitesse, c'està-dire sont devenus nuls.

La fraction-» qui se trouve dans l'équation (3) , est un

symbole qui a remplacé le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable : comme ce symbole ne laisse

(*) Pour le reconnaître, il suffit de considérer les équations du premier degré; en effet, tout ce qu'on nous demande dans celle-ci, ^ = tfxH-i, c'est de trouver pour j' une valeur composée du produit d'un certain nombre X par a, et de la quantité h. Or, ce nombre x est tout à fait arbitraire; il peut être égal à i, à 2 , à 3, ou à toute autre quantité numérit^ue : et les résultats «-+-&, 2 «-*-&, 3a-+-6, etc., qu'on obtiendra ainsi, seront toujours des valeurs convenables de y. Il n'en serait pas de même si l'on avait une seconde équation ^=.fl'x-f- 6' entre x et ^; car, en éliminant^, on

trouverait *= ,1 valeur qui n'est plus arbitraire, et qui devient -

dans le cas où Ton a V =.h et a = a'; mais alors les deux équations se réduisent à cette seule / = ax-h&, et la valeur de x, comme on vient de le

voir, devient une quantité indéterminée qui se présente sous la forme -•

aucune trace de celle variable, représenlons-le par -=-;

alors j- nous rappellera que la fonction élaii y et que la

variable était X (*). Mais dj et àx ne seront pas moins des quantités, nulles, et nous aurons

V- OU plutôt sa valeur 3x* est le coefficient différentiel de

do: '-

la fonction y.

Remarquons que -— étant le signe qui représente la limite

3a:* [comme le montre l'équation (4) ], àx doit toujours être placé sous dj^. Cependant, pour faciliter les opérations de l'Algèbre, on peut momentanément faire évanouir le dénominateur de l'équation (4), et l'on a dj' = 3x*dx. Cette expression ix^dx est ce qu'on appelle la différentielle de la fonction y.

5. Cherchons encore la différentielle de la fonction a -H 3a:*. ]Pour cet effet, il faut donc, dans l'équation y = a -h 3a:*, faire a: = x -H A ^ et , en changeant j- en y^ cette équation deviendra

/ =« -h 3x^ 4- &xh 4- 3A';

donc — T — = 6 a: -H 3 /i 5 égalant h à zéro , il nous vient

■^ z=6x : donc la différentielle cherchée est dy = 6a: dx.

6. Pour troisième exemple, cherchons la différentielle de j^ = ax^ — b^ : faisons x = x -\-h^ et substituant nous

(*) Ce n'est pas la première fois que, dans l'analyse , un signe rattache

une quantité à celle dont elle tire son origine. C'est ainsi que y'î, qui représente i/|i43i36. . ., nous indique que ce nombre dérive de 2, par une suite d'opérations.