L'équation u = - nous montre encore que le rayon
vecteur est en raison inverse de T abscisse. Si nous faisons
successivement f = afr, t = 4^^ t = 6n, etc., nous aurons
pour u cette suite de valeurs, — ? 7— > ;?- » eic. , ce qui nous ^ - 27r ^n on ' 1
apprend qu'au bout de deux révolutions le rayon vecteur
est réduit à moitié de ce qu'il était à la fin de la première,
qu'au bout de trois révolutions il est réduit au tiers, et ai^si
de suite.
197. L'équation de la spirale hyperbolique et celle de la spirale de Conon sont des cas particuliers de l'équation
a = at": car en faisant /i = i, et a = — , on obtient la
première, et en faisant /i = — i, on obtient la seconde. Parmi les spirales déterminées par cette équation, on distingue la spirale parabolique, qu'on trouve en faisant 72 = 2.
DE LA LOGAKITHHIQUE.
498. La logarithmique est une courbe à coordonnées rectangulaires, dans laquelle l'abscisse est le logarithme de l'ordonnée; l'équation de cette courbe est donc
d'où l'on lire
et, par conséquent,
jc = log/,
-^ =z a' loaa, dx
499. Pour discuter cette équation, faisons x = o; nous trouverons y z=i : si l'on donne ensuite des valeurs croissantes et positives à x, j- ira toujours en croissant \ mais si l'on donne à x une valeur négative — u , on trouvera
DE LA CYCLOÏDE. l^J
y==rt"""= — -, et Ton voit que Tordonnée diminuera d'autant plus qu'on s'écartera de Torigine, dans le sens des abscisses négatives, et qu'enân la courbe ne pourrait atteindre le prolongement de l'axe des x qu'à l'infini, cas où l'équation r = — deviendrait r = -=^ = o : d'où l'on peut con-»
dure que le prolongement de l'axe des x est une asymptote à la courbe.
300. Si, à partir de l'origine, on prend des abscisses égales (fig. 6i ) , AP = u^ AF ^ — ii, on trouvera
PM = û«, P'M'=: — : donc PMXP'M'=i.
201 . La propriété la plus remarquable de cette courbe est que la sous-tangente a une valeur constante. En effet, r équation de la logarithmique étant différentîée, nous
fi V Û* Q J7 I
donne -7^ = a' loff a , d'où nous tirons ^ — = • » ou
dx ^ djr logtf
^ — = Or le premier membre de cette équation
exprime la sous-tangente de la courbe (art. 71) ; donc cette sous-tangente est constante.
DE LA GYCLOIDS.
202. La cycloïde est une courbe qui est décrite par le mouvement d'un point M {Jig' 62) situé sur la circonférence d'un cercle qui roule sur une droite RC. Il est certain que dans ce mouvement de R en C, tous les points de l'arc RM viendront successivement s'appliquer sur la droite RA, jusqu'à ce que M, à son tour, s'y applique en A ; par conséquent l'arc RM sera égal k la droite RA.
Tous les points par lesquels passe le point M, dans ce mouvement, étant, par hypothèse, sur la cycloïde, le
l48 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
point A sera aussi sur celle courbe. Prenons-le pour origine des abscisses , et abaissons la perpendiculaire ME sur le diamètre BR, et faisons AP = J!r, PMr=j, BR = 2a, arc MR = z , ME = u ; nous aurons
AP==AR — PR, ou
X = arc MR — ME ,
ou
Nous chercherons d'abord à éliminer l'arc z de la manière suivante ; nous difïerentierons l'équation précédente , ce qui nous donnera
(i36) dx = dz — du.
Pour avoir la valeur de d^ en fonction de m, nous observerons qu^ entre u et z nous avons la relation
£^ := sin z .
Cette équation étant différentiée (art. 44), on trouve
, . cosz
d'où l'on lire
, adu
dz=: ;
cosz
il faut remplacer, dans celte équation, la valeur de ces z par celle que nous donne Téquation
sin*z -f- cos'z = «% ou plutôt
tt* -+■ COS' z = fl%
et l'on obtient
adu
dz =
DE LA GYCLOÏDE. 14^
Substituant cette valeur dans Téquation ( i36) , il vient
(187) dx= -pr^___ — du.
Il ne s'agit plus que d'exprimer u en fonction de y. Pour cet effet, soit O le centre du cercle générateur BMR [fiS' ^^ ) ) i^<>us avons
OE = v^MO' — ME», ou
Elevant cette équation au carre, et réduisant, on en tire
(139) «= V'aûr — /%
et, en différentiant,
Les équations ( i38 ) et ( 1 4o) transforment Téquation ( 1 87) en
réduisant , on trouve
(i4«) dx=— d^;
telle est l'équation de la cycloïde*
203. On obtient encore Téquation de la cycloïde en fonction de Tare, ainsi qu'il suit : l'équation ii=rsinz donne
£=7 arc (8in= tf);
mettant pour u sa valeur tirée de l'équation (iSp), on a
z = arc ( sin :=i\^%ay — y^ ; cette valeur et celle de u étant substituées dans Téqua-
l5o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
tion (i35), on a
(142) JFsrarc (sin = v'2ûj^ — y*) — yj^ay—y'^ (*).
204. Pour discuter cette équation , on va prouver d'abord quej^ ne peut être négatif, ni plus grand que a a. En effet,
si Ton faitj^ = — j', Texpresslon arc (sin = v'2a;^ — y*)
devient arc ( sîn = v^ — 2 ay — y ) , valeur imaginaire. En second lieu, si Ton fait j^ = — 2aH-(î, l'expression
arc ( sin = ^iay — j^" ) devient arc ( sin = ^ — 2 a J — d* ), valeur imaginaire^ donc, si à une distance EF = 2d(de Taxe des a:, on mène {fig* 63) AB parallèle à CD, la courbe sera comprise entre les parallèles CD et AB.
La plus grande valeur que puisse avoir j^ est 2a 5 car si l'on fait rouler le cercle générateur de A en C (fig» 64 ) , le point M, qui était d'abord en A, s'élèvera successivement jusqu'à ce qu'il arrive en B, à l'extrémité du diamètre BD; alors l'abscisse AD sera égale à DEB , c'est-à-dire à la demicirconférence du cercle générateur.
Ce résultat est conforme à celui qui nous est donné par l'équation (i4^)> puisque si l'on fait y:=ia^ on trouve X =5 arc (sin = o) ; or l'arc dont le sinus est nul doit être Tun des suivants : o, DEB, 2DEB, 3DEB, etc., et l'on voit que, dans le cas présent, cet arc est DEB.
Le point M, parvenu en B, ayant donc décrit l'arc AB, de cycloïde, si ce point continue à se mouvoir, il décrira
(*) Le sinus iei correspond au rayon a; celui des Tables, ayant l'unité pour rayon , est le quatrième ternie de cette proportion ,
« : I :: y/^aj-^y* :
par conséquent on aura pour l'équation de la cycloïde dans laquelle le rayon des Tables est pris pour unité,
X =a arc l sin = I — V^ ^ — -^ •
DE LA CYCLOÏDE. l5l
un second arc BC, semblable au premier; enfin, si le cercle générateur continue toujours à rouler sur l'axe des abscisses, le point M engendrera une suite indéfinie d'arcs decycloide CB'C' {Jig. 65) , C"WC\ etc. Le cercle générateur pouvant aussi se mouvoir dans le sens de A vers A'', le point M décrira encore une suite indéfinie d'arcs AB' A', &!W'K\ etc.
C'est l'assemblage de lous ces arcs qui, dans le sens le plus général , constitue la cycloïde.
