La normale au point M, dont les coordonnées sont
^ e^y [fig* 66), est déterminée (art. 70) par cette formule
=Vë
normale = yy^^^i^^
si nous y mettons la valeur de t^, tirée de l'équation de la
ax *
cycloïde , nous trouverons
normale = y \/^—L-^JL -f^ i = y/2 ûtj.
Pour construire cette valeur, menons la corde MD {fig. 66) , nous aurons
DE: MD :: MD :db,
ou
y : MD :: MD : tia; donc
la cerde MD = sj%ayy
et comme, par la propriété du cercle, l'angle BMD est droit, la corde MB sera perpendictilaire à l'extrémité de la normale MD ; donc la corde MB prolongée est tangente au point M de la cycloïde; car on sait que la tangente et la normale forment entre elles un angle droit.
On pourrait donc construire la tangente au point M, en
l5a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
décrivant le demi-cercle générateur BMD, et en prolongeant la corde BM ; mais pour n'avoir pas à construire ce cercle générateur à chaque point de la courbe , il suffira de construire le demi-cercle générateur sur la plus grande ordonnée BD (fig* 67) de la cycloïde; et ayant mené par le point donné M la perpendiculaire ME sur BD, on tracera la corde BC ; alors la parallèle MT à cette corde sera la tangente demandée : c'est une suite de ce qui précède.
206. Pour avoir l'expression du rayon de courbure de la cycloïde, il faut, de l'équation de cette courbe, déduire
les valeurs de -r— et de -^ — - j que nous substituerons dans
ax d j?' *
l'expression du rayon de courbure (art. 152) ,
et dans laquelle nous adoptons le signe négatif, parce que nous savons que la courbe tourne sa concavité vers l'axe des X. L'équation de la cycloïde nous donne d'abord
(i43) iz=yw-r.
^ ax y
Pour obtenir -r-4:) faisons -p- = p : nous aurons donc aussi
d x^ àx ^ '
et en différentiant (art. 24 ) , nous trouverons
A 7" ^ aày
fia
DE LÀ GYGLOÏPE. l53
donc «
d/ 7v^2ûr— 7»'
multipliant cette équation par Téquation (143)9 nous obtiendrons (art. 26) ,
Ap a d*r a
i = , ou -r-^ = :
dj: y^ dj:* j^*'
au moyen de ces valeurs ^ on a enfin
et en faisant passer y au numérateur,
» j^ j JL i. i
donc le rayon de courbure MM' [fie* ^^) ^^ '^ cycloïde est double de la normale MR.
