On peut démontrer de la manière suivante, par la

synthèse, que la développée A A' (fig» 69) est une cycloïde.

Nous avons

arc L W -h arc RM' = ir a,

arcLM' = tta — arc RM' ;

d'une autre part,

arc RM' =:: arcMR = AR (art. SOI) ;

substituant cette valeur dans l'équation précédente, on

aura

arcLM'=: tt^ — AR = AD — AR, ou

arcLM' = LA',

ce qui est la propriété de la cycloïde.

Du changement de la variable indépendante,

209. Lorsqu'une formale qui contient des coefficients différentiels est donnée, on ne peut les éliminer qu\^ Taide de l'équation de la courbe à laquelle on veut appliquer cette formule; c'est

l56 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ainsi que , lorsqu'on a la formule

d'^- d X dP

et qu'on demande ce qu'elle devient lorsque la courbe est une parabole, on tirera de l'équation y = ax^ de la parabole, les valeurs

ae -r- et de -r — ^j qu'on substituera dans cette formule, et alors

les coefficients difTérentiels en disparaîtront. Si l'on regarde y^

et g— ; comme des inconnues , il faut en général deux équations

pour les éliminer d'une formule, et ces équations nous seront données en différentiant deux fois de suite l'équation de la courbe.

810. Lorsque , par les opérations de T Algèbre, les d x ont cessé d'être sous les ày^ comme dans la formule suivante ;

(,46) r[àx^-^ày^)

la substitution s^opère en regardant àx^ ày et à^y comme des inconnues ; et puisque pour les éliminer il faut en généra! un pareil nombre d'équations, il ne semble pas d'abord que l'élimination puisse s'effectuer^ parce que la différentiation de l'équation de la courbe ne peut nous procurer que deux équations entre dx, ày et à^y ; mais il faut remarquer que lorsqu'au moyen de ces deux équations on aura éliminé ày et d'^, il se trouvera dans la formule un facteur commun dx' qui s'évanouira.

Par exemple , si la courbe est toujours une parabole représentée par y = ax'^^ en différentiant deux fois de suite cette équation, on obtiendra

Ay •= 7,ax6xy d'^t=2fldjc';

ces valeurs étant substituées dans la formule (i46) > on obtiendra, après avoir supprimé le facteur commun da?%

DU CHÀNGEMEHT DE LÀ VARIABLE INDÉPENDANTE. iS^