L« raison pour laquelle dx' devient facteur commun est
facile à saisir; car, lorsque dans une formule qui contenait pn-
d' y d y mitivement -r-^ et -p-, oii a fait disparaître le dénominateur de
-\ — ^5 tous les termes, hors ceux en T-^^t en -7—5 ont dû acqué-
rir le facteur commun àx^\ alors les termes qui étaient affectés
de j-^^ ne contiennent plus d x, tandis que les termes qui étaient
affectés de j— renferment d or au premier degré , car le produit
d y de -|— par d;r>se réduit à djdx. Lorsqu'on différentie ensuite
l'équation de la courbe , et qu'on obtient des résultats de la forme A y = Mdo:, d'j =r Ndo:', ces valeurs étant substituées dans les termes en d* j et en djdx, les changeront, comme les autres termes, en des produits de dx'.
819. Ce que nous disons d'une formule qui contient les différentielles des deux premiers ordres pouvant s'appliquer à celles dans lesquelles ces différentielles s'élèvent à des ordres supérieurs, il suit de là qu'en différentiant autant de fois qu'il sera nécessaire l'équation de la courbe , on pourra toujours chasser de la formule proposée les différentielles qui y sont contenues.
815. U n'en serait pas de même si , outre les différentielles que nous venons de considérer, la formule contenait des termes en d';r, en d?Xy etc.; car, supposons qu'il entrât dans cette formule les différentielles suivantes djr, d/, d'x, d'j, et qu'en diffcrentiant deux fois de suite l'équation représentée par / =fx^ on en tirât ces équations
Y{x,yy àyy dx)~o, F(ar, /, do:, d/, d*ar, à'y) = o,
on ne pourrait avec ces deux équations éliminer que deux des trois différentielles dj^, à^x^ à^y^ et l'on voit qu'il serait impos* sible de faire disparaître toutes les différentielles de la formule; il y a donc, dans ce cas, une condition tacite exprimée par la différentielle d'à;; c'est que la variable .r est elle-même considérée
lb8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
comme une fonction d^une troisième variable qui ne paraît pas dans la formule, et qu'on appelle ia variable indépendante. Cela deviendra manifeste, si Ton fait attention que Féquation ^ =:/r pourrait dériver du système des deux équations
entre lesquelles on aurait éliminé t\ c'est ainsi que l'équation
ix c^
jr ^=: a ' — , ■■ ' revient au système des deux équations
X =z bt -{- e^ y •=. at^j
et l'on conçoit que X et y doivent varier en vertu de Taccroissement que t peut recevoir; mais cette hypothèse, que x ei jr varient d'après l'accroissement donné à r, suppose qu'il y ait des relations entre x et r, et entre y et t; Tune de ces relations est arbitraire, car Téquation , que nous représentons en général par
fx c )*
r =y2p , étant , par exemple , j = a ^ — ,^ 9 si l'on établit
entre r et j: la relation arbitraire .?:=--, cette valeur étant mise
dans l'équation y = ^ — 7^ — ? la changera en / = « — . >
fi
équation qui, étant combinée avec celle-ci, ^ = --> doit repro-
(x cY
duire par l'élimination ^ y=z a ^■■' — ^» seule condition à laquelle on doive avoir égard dans le choix de la variable r.
1it4. On peut donc déterminer arbitrairement la variable indépendante r. Par exemple, on prendra la corde, l'arc, l'abscisse ou l'ordonnée pour cette variable indépendante; si t représente
l'arc de la courbe, il faut que l'on ait dr = ^dar' -|- d/^* ; si r représente la corde, et que l'origine soit an sommet de la courbe,
on aura /= ^x^-{-y^\ enfin, r pourrait être l'abscisse ou l'ordonnée , et Ton aurait alors f =r .r , ou t =zy,
• SIS. Le choix de l'une de ces hypothèses ou de toute autre devient indispensable pour que la formule q^n contient des diffé-
DU CHANGEMENT DE LA VARIABLE INDÉPENDANTE. l59
rentielles puisse en être délivrée; si nous ne le faisons pas toujours , c'est que nous supposons tacitement que la variable indépendante a été déterminée. Par exemple, dans le cas le plus ordinaire où une formule ne contient que les différentielles d^, dj, d'jr> d^jTy etc., l'hypothèse est que la variable indépendante t a été prise pour Tabscisse, car alors il en résulte
do; d'^
e=^Xj -r— =1, -J-— = 0, -=--=0...; ' dr dt^ df» '
et Ton voit que la formule ne doit pas renfermer des différentielles secondes, troisièmes, etc., de^;.
216. Pour établir k formule dans toute sa généralité, il faut, d'après ce qui précède , que xei y soient des fonctions d'une troisième variable indépendante r, et que l'on ait (art. 26)
dx dx dx At'
dr
dx
djr
dt ~d*'
dt
on tire de cette équation
prenant la différentielle seconde de j'y et opérant sur le second membre comme on le fait pour les fractions (art. 16) , on trouvera
dx d^jr dy d^x
d^X ^ "^^ ^ "3T dx dx*
TF
Dans cette expression, dr a deux usages : l'un est d'indiquer quelle est la variable indépendante r, et l'autre d'y entrer comme signe d'Algèbre. Nous pouvons ne considérer d / que sous le second rapport, si nous ne perdons pas de vue que r est la variable indépendante; alors supprimant dt* comme facteur commun, l'expression précédente se simpli6era en écrivant
d*x dxd*jr — djrd*x
dx dx*
l6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et en divisjknt par d;r , elle deviendra
d*/ dord'^ — àyà^x
Jj^ "~ d ^ *
217. £n opérant de même sur l'équation (i47)> ^^ voitqu*en prenant t pour variable indépendante , le second membre de Téquation devient identique au premier ; par conséquent, lorsqu^on prend t pour variable indépendante ^ on n'a qu'un seul changement à faire dans la formule qui contient les coefficients différen-
tiels -r^ et -r-^ t c'est de remplacer ce second coefficient différend a: d jc'
tiel par
d.rd'j' — d^d*u:
Pour appliquer ces considérations au rayon de courbure qui (art. 188) est donné par l'équation
dx»
si Ton veut avoir la valeur de 7, dans le cas où t serait la variable indépendante, on changera cette équation en
iy ::r — ^ :
dx
en observant que le numérateur revient à ^ -. — ^ » ou aura
dOT^
(.48) ,^ iA-L±Ay4 .
" àxà^y — d^d*.r
S 18. Cette valeur de 7 suppose donc que .r et y soient des fonctions d'une troisième variable indépendante; mais si x devait être cette variable, c'est-à-dire si Ton avait r= x, on aurait d'x = 0, et cette formule retomberait dans le cas ordinaire en
DU CHANGEMENT DE LÀ VARIABLE INDÉPENDANTE. l6l
redevenant
"^ dxd'j d^r
dx'
919. Mais si , au lien de prendre x pour la variable indépendante, on voulait que l'ordonnée fût cette variable indépendante, cette condition serait exprimée par l'équation j = r; et en différentiant deux fois de suite cette équation , on aurait
La première de ces équations nous dit seulement que y ^^ ^a variable indépendante , ce qui ne changera rien à la formule ; mais la seconde nous montre que d'j doit être nul, et alors Té-
quation (i4B) se réduit à
^ (dr'+dj-»)'
^ "" dx d'.r
820. Il est à remarquer que lorsque j? est la variable indépendante, et que Ton a par conséquent d* j: == o, cette équation nous dit que dx est constant; d*où il suit qu*en général la variable qui est regardée comme indépendante, a toujours une différentielle constante.
