Enfin, si Ton prend Tare pour variable indépendante
on aura
dt= ^dx»-hd/»;
élevant au carré et divisant par dt\ cette équation nous donnera
dt' di
différentiant cette équation , nous regarderons (art. 220) dr comme constant, puisque t est la variable indépendante; et en opérant d*après la régie des exposants > nous trouverons
2djrd'j? 2drd'r
1 zi :L —= o •
l6a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
d'où l'on tire
dxd'j; = — dj'd'^ ;
par conséquent, si Ton substitue la valeur de d^x ou celle de d^x dans réqnation (148) , on aura dans le premier cas,
v~-(ax'4-dj^»)d'7^''"~ dv
et dans le second cas ,
( d x' ■+• d j^' V 1 sid X' -h dj' ■^ "~(da:»+ d/M d'ar "^-^ ~ d^ •^'
222. Dans ce i|ui précède , nous n'avons considéré que les deux
dv d' Y coefBcients différentiels -—j -. — ;nîais si la formule devait con-
ax d .r'
tenir des coeddents différentiels d^ordres plus élevés, il faudrait >
par des moyens analogues à ceux que nous avons employés , dé-
terminer les valeurs de -r-^j de -i-^j etc., qui se rapporteraient
dx^ dx^
au cas où a: et / sont des fonctions d'une troisième variable indépendante.
PB LA «£TH0J»S fm& mviNIMEHT PBTiTS-
923. Les notions que nous avons de l'infini se réduisent à cette proposition : Une quantité n'est pas ^infinie lorsqu'elle est susceptible d'augmentation. Par conséquent, si l'on a X -h- a, et que x devienne infini , il faut supprimer a, autrement ce serait supposer que a: peut encore s'augmenter de a, ce qui est contre notre défiai tion.
224. Cette proposition étant fondamentale, j'ai cherché à la démontrer d*une manière plus satisfaisante, comme il suit. Soit l'équation
(149) .r + fl==j,
dans laquelle a est une quantité constante. Nous pouvons, à l'aide d'une indéterminée m , représenter par tna le rap-
DE LA MÉTHODE DES INFIHIMEMT PETITS. l63
port des variables y et a: , ou , ce qui revient au même , supposer
(i5o) max=y^
substituant cette valeur dans l'équation (149)5 on obtient
(i5i) X -^ a =:max\
divisant tous les termes de l'équation (i5i) par ax, on a
quand o: devient infini, la fraction - ayant atteint à son
dernier degré de décroissement, se réduit évidemment à zéro-, alors l'équation (i5a) devient
Cette valeur étant substituée dans Téquatiou (i5i), on obtient
ce qui montre que quand x est infini , a: -h a se réduit à x.
225. La quantité a , à Tégard de laquelle x est infini, est ce qu'on appelle un infiniment petit y par rapport à x,
226. .Comme nous ne considérons ici que les rapports des quantités, la démonstration précédente a lieu lors même que X a une valeur finie, pourvu seulement que a soit infiniment petit par rapporta x.
La théorie des fractions va nous servir encore à rendre sensible cette vérité. En efiet , si l'on compare la quantité
finie Z» à la fraction -9 il est certain que plus le dénominateur z augmentera, plus la fraction diminuera; «d^for te que quand z deviendra infini, cette fraction Hr *
l64 CALCUL DIFFÉREfiTIEL.
absolument nulle, et, comme telle , devra être supprimée
devant J, qui alors sera infini à l'égard de —
227. Quoique deux quantités soient infiniment petites , il ne s'ensuit pas que leur rapport soit nul; car
On sent d'ailleurs que deux quantités infiniment petites
peuvent se contenir comme deux quantités très-grandes;
ainsi , en représentant deux quantités infiniment petites
par ày et par d x, il suit de là que leur rapport -p- ne sera
pas nul : résultat conforme à celui que nous avons obtenu par la considération des limites.
228. Lorsqu'une quantité x est infiniment petite , par rapport à une grandeur finie a , le carré x^ est infiniment petit par rapport à x. En effet, la proportion
nous prouve que x' est renfermé dans x autant de fois que a: Test dans l'unité, c'est-à-dire un nombre infini defois. On démontrerait de même, à l'aide de la proportion
que x^ étant infiniment petit par rapport à a:, le terme x^ doit être infiniment petit par rapport à x^\ c'est par cette raison qu'on a divisé les infiniment petits en différents ordres : ainsi , dans les exemples précédents , x est un infiniment petit du premier ordre, .r* est un infiniment petit du second ordre , x^ est un infiniment petit du troisième ordre ; ainsi de suite.
229. Observons que si x est infiniment petit par rapport à a, il en sera de même de x multiplié par une quantité
DE LÀ MÉTHODE DES INFIMIMEMT PETITS. l65
finie b. En eflet, x considéré conune une fraction dont le dénominateur serait infini, peut être représenté par — ;
c bc
or, que Ton ait — ou — j ces quantités n'en sont pas moins nulles par rapport à a.
230. De même qu'un infiniment petit du premier ordre doit être supprimé lorsqu'il est à côté d'une quantité finie, qu'il ne peut augmenter, on doit eilacer un infiniment petit du second ordre, qui serait à côté d'un infiniment petit du premier ordre; ainsi de suite.
Par exemple, si Ton a cette expression
et que/ soit un infiniment petit du premier ordre, cy^ en sera un du second , et dj^ en sera un du troisième : il faut donc efiacer rf^', parce que dy^ ne peut augmenter cj^ \ et comme cy^ ne peut augmenter bj^ on l'effacera à son tour; enfin, on effacera aussi by^ puisque cet infiniment petit du premier ordre ne peut augmenter la quantité finie a , et il restera a.
231. Deux quantités infiniment petites x et y donnent pour produit un infiniment petit du second ordre. En effet , du produit xy je tire la proportion
i\X \\ x:xy^
ce qui m'apprend que puisque y est infiniment petit par rapport à i , a:/ sera infiniment petit par rapport à x, c'està-dire sera un infiniment petit du second ordre.
232. On prouverait de même que le produit de trois infiniment petits du premier ordre donne un infiniment petit du troisième ordre.
