Nous pouvons maintenant expliquer la théorie de

l66 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ladiâSérentiation, d'après la méthode des infiniment petits. Pour cet effet, si l'on suppose que dans une fonction de x la variable a: prenne un accroissement infiniment petit, représenté pardjtr, en sorte que x devienne x + dx, la différence du nouvel état au premier sera la différentielle de cette fonction.

234. Par exemple, pour trouver la différentielle de ax, cette fonction devenant a (x -H dj:) = ax -h ado:, si Ton en retranche ax, il restera aàx pour la différentielle.

235. Cherchons encore la différentielle de ojc*; il faut de a (a: -h-dx)' retrancher ax*; développant et réduisant, on trouve d'abord 3 ax* dx-4-3 ax dx'-f- adx'. Cela posé, adx' étant un infiniment petit du troisième ordre, ne peut augmenter 3axdx', par conséquent, on effacera adx^] de même 3 oxdx', qui est un infiniment petit du second ordre, doit être supprimé, parce que 3ax*dx en est un du premier ordre 5 et il restera 3 ox' dx pour la différentielle.

236. On différentiera, d'après le même principe, tonte autre fonction de x , en ayant le soin de supprimer les infiniment petits des ordres supérieurs , ce qui se réduit à ne conserver que le premier terme du développement , ainsi qu'on le fait par la méthode des limites.

Par exemple , pour trouver la différentielle de fx , au lieu d'écrire

qui , dans le cas de la limite , donne -p- dx = A d x pour la différentielle , on aurait

DE LÀ MÉTHODE DES iMFINIMEfNT PETITS. 167

retranchant la fonction primitive, il resterait

et comme on devrait supprimer les infiniment petits des ordres supérieurs, on ne conserverait que le terme Ad:i^, qui serait la différentielle cherchée.

237. Pour trouver la différentielle du produit de deux variables, j, «, on supposera que quand x devient x-^.Ax^ y devîennej^-h- dj, et que z devienne a -hd,». Le prodiritjrz

se convertira donc alors en (y-t-dy) (z-f-d«); développant et retranchant^^ , il restera ^dz -f- zày-^àyàz* Le dernier terme de ce résultat étant un infiniment petit du second ordre, devra s'effacer 5 et l'on aura, pour la dilTé^ rentielle de j^z, l'expression j^dz -f- zAy^

238. On déduira ensuite de cette dei*tiière différentielle, celle du produit d'un plus grand nombre de variables , et ensuite celle de a:"*, par les procédés que nous avons suivis lorsque nous avons employé la méthode des limites.

239. La différentielle de a' s'obtiendra aussi très-facilement, lorsque l'on aura le développement de af^^'x et ce développement se trotîvera comme celui dfe û^^* (art. 36) ; on cherchera eiirsuite la valeur de a*^' — a*, et, ne conservant que le premier terme , on rejettera les autres cosfifiie des infiniment petits d'ordres inférieurs à celui du terme que l'on conserve. De la différentielle de a' on déduira ensuite, comme nous l'avons fait, celle de logx.