A (CE
Rép. æ = — 1, donne un max. — 43 J | % 3, donne un min. — — 51.
æ—1, donne un max. — — 3:
x — 6, donne un min. —
æ — 1, donne un max.
æ — 3, donne un min.
æ—19, donne un max. — æ— 3, donne un min, — æ = 1, donne un max, ie æ— 5, donne un min. — — 98,
Ni max. ni min.
æ—1, donne un max. — 2;
æ—=nx, ne donne ni max. ni min.
æ—e, donne un min. —e;
æ—=1, ne donne ni max. ni min.
&æ — nr, donne un max.
À. b ; ; = x = Log —, donne un min. — 2ÿ/4b.
k a æ—= —, donne un min, p
æ—e, donne un max.
LEnee donne un max. — (/2:.
o - pri
ES D donne un min. = — 2.
% — — donne un max. :
LT —= — & donne un min.
Ni max. ni min.
RUES EE rs T—=nr—+—-, donne un-max. = © (3:
D 16 rite e donne un min. = — "V5;
æ—n7, ne donne ni max. ni min,
Crimes
UN
142 | CALCUL DIFFÉRENTIEL Dos
il rico: ÿ æ — cotg æ, donne un max.
412. sinx+cos2r. . z— arc sin?, donne un max. ; 1 Ve ms donne un min. 4 443. 2 tg x — tg° x. LT =, donne un max.
: 4 LA A14. - Sin 4 z—==, donne un max. 0 1+tgæ 4 | | 115. mr oe : æ = Cos x, donne un max. ; / 4% Fear æ—=— Cos +, donne un min. :14 85. Points d’inflexion. Définition. — Les pornts d'inflexion
séparent les ares dont la concavité est tournée vers les y positifs (ares concaves vers le haut) de ceux dont la concavité # est tournée vers les y négatifs (ares concaves vers le bas) (*. Aïnsi, quand une courbe
— f(æ) passe (comme en B) (fig. 67) de concave 7e le haut (comme en A) à concave vers le bas (comme en C) ou inversement, un point tel qeû
B est appelé un point d’inflexion. LPS e.
Il résulte immédiatement de la discussion du A 84, qu'en A, 4 f'(æ)=+., et en C, f’(æ)——. Pour changer de signe, la dérivée
seconde doit passer par zéro (*); par suite, nous avons
(23) aux points d'inflexion, f’(x) — 0.
La résolution de l'équation résultant de (23) Ron les abscisses : » des points d’inflexion. Pour déterminer la direction de la courbure dans le voisinage d’un point d inflexion, examinons les signes pris par f'(æ) pour valeurs de +, d’abord un peu plus petites et en- 1 suite un peu plus grandes que l’abscisse de ce point. De
Si f'(x) change de signe, nous avons un point d inflexion et les 4
signes obtenus atout si la courbe est concave vers le haut ou4 vers le bas dans le voisinage de chaque point d’inflexion.
( Les points d’inflexion peuvent également être définis comme étant des points où & 5
(a) Yo et 2 change de signe. ‘7 DCR
dx? dr? | ; €
ou (HAS ESS et d% change de signe. PCA x ; ; dy? dy° Von # LR
(*) On suppose que f(x) et f(x) sont continues. La solution de PEx: 2, p. 144, montre comment il convient de discuter un cas où f(x) et f'(x) sont toutes les deux infinies. Évidemment les points anguleux (voir p. 302) sont exclus, puisqu'en ces points f(x) est discontinue. À Es
POINTS D'INF LEXION | 143
| rs lecteur devré observer qu’en un point où la courbe est concave À vers le haut Corne en A), la courbe se trouve au-dessus de la | tangente et qu'en un point où la courbe est concaye vers le ‘bas . (comme en OC) la courbe se trouve au-dessous de la tangente. En un . point d’inflexion (comme en B), la tangente traverse men la courbe. |
Ée- Nous donnons ci- après une rêgle pour trouver les points d’inexion d’une courbe dont lé équation est /(x). Cette règle renferme également des directives pour examiner la direction de + courbure | d une courbe dans le voisinage de chaque point d'inflexion.
ire opération. Trouver f'(x).
2° opération. Poser f@)=0 et résoudre léquation résultante uant. aux racines réelles.
3 opération. Écrire f'(x) sous forme de facteurs. … 4° opération. Examiner les signes pris par f(x) pour des valeurs de x, d'abord un peu plus petites et ensuite un peu plus grandes . ue chacune des racines trouvées dans la 2 opération. St f(x) change de signe, nous avons un point d'inflexion. » Quand f(x) —+., la courbe est concave vers le haut 2 (*). | Quand f'(x)= —., la courbe est concave vers le bas =.
LT EXEMPLES
# Éaniiuer les courbes ci-après en ce qui concerne les points d’inflexion et la Le direction de la courbure,
Solution. | fCœ) = 3%* — 4x3 + 1.
1'e opération. f(x) = 367? — Lx 2e opération. 364? — 4x — 0.
æ—? et x—0 sont les valeurs critiques.
8e opération. fx) = 362% (x — À).
4 opération. Quand æ < D, car = + s et quand NI ASIE # Le courbe est concave vers le haut à gauche et concave vers le bas à droite $ e EE (A dans la ÉEre 68).
LS No 2 ‘Qüand x <* don et quand x > ©, f'(&)=+
» On peut facilement se souvenir de ces résultats en disant qu’un vaisseau qui aurait la forme dela courbe à l'endroit où elle est concave par en haut contiendrait (+) de l’eau et qu il en rejetseat (—) dans le cas où il aurait la forme de la courbe à l endéoit { où elle est concave par en bas,
La courbe est concave vers le ae à gauche et concave vers le haut à droite
de æ =? (B dans la figure 68).
La courbe est évidemment concave ee le haut en tout point à gauche de À, concave vers le bas entre A (0,1) et B G, À 2) et concave vers le haut en tout point 4
à droite de B.
ÉCS 22 (y— 2} = x — 4.
Solution.
. 3e opération. E £ É
